¿Probabilidad de que el segundo mejor jugador termine segundo en un torneo de eliminación simple, dado que los mejores jugadores siempre derrotan a los más débiles?

Question

Un torneo de ajedrez (formato de eliminación simple) tiene 16 jugadores. Supongamos que no hay dos jugadores con la misma fuerza, y que cada jugador derrota siempre a los jugadores más débiles que él (es decir, no hay empates). El perdedor de la ronda final se convierte en el subcampeón. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo mejor jugador resulte ser el subcampeón? ¿Y si hay $2^n$ ¿jugadores?

No estoy seguro de cómo enfocar esto. ¿Sería correcto pensar que la probabilidad es $\frac{14}{15} \times \frac{6}{7} \times \frac{2}{3}$ ya que en cada ronda, sólo hay una persona que puede hacer que el jugador no avance, y el número de jugadores en cada ronda se reduce a la mitad?

¿Cómo enfocaría entonces la pregunta de seguimiento, en la que se supone que debo responder a esto en el caso general?

Answer 1

El segundo mejor jugador siempre perderá cuando se enfrente al mejor jugador. Quedarán en segundo lugar si llegan a la final. Llegarán a la final si no se enfrentan al mejor jugador antes. Por lo tanto, serán segundos si están en la mitad opuesta del cuadro al mejor jugador.

Si están sembrados, entonces $p=1$ .

Si se asignan al azar, entonces $p=\frac{8}{15}$ o para el caso general de $2n$ , $p=\frac{n}{2n-1}$