Cómo integrar $e^{\sin x}(x \cos x - \tan x \sec x)$

Question

¿Cómo encontraría la integral indefinida $e^{\sin x}(x \cos x - \tan x \sec x)$

Nuestro profesor nos la dio como pregunta de repaso. Nos dijo que era de un examen de hace varios años como crédito extra, sin embargo nadie la respondió correctamente.

Llevo horas trabajando en ello y no consigo hacer mella, ¡no he avanzado nada! No es realmente importante porque no se otorgan puntos por ello, sin embargo me gustaría saber cómo hacerlo

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Solución basada en la aportación de Doc:

$\int e^{\sin x}(x \cos x -\tan x \sec x)\;dx$

$\int (e^{\sin x}\cos x)(x)\;dx - \int e^{\sin x}( \tan x \sec x)\;dx$

$\int (e^{\sin x})'(x)\;dx - \int e^{\sin x}(\sec x)'\;dx$

$ e^{\sin x}x-\int e^{\sin x}\;dx - (e^{\sin x}\sec x-\int \cos x e^{\sin x}\sec x\;dx)$

$ e^{\sin x}x-\int e^{\sin x}\;dx - e^{\sin x}\sec x+\int e^{\sin x}\;dx$

$ e^{\sin x}x - e^{\sin x}\sec x+C$

$ e^{\sin x}(x - \sec x)+C$

Answer 1

Hazlo en dos partes.

Para $\int e^{\sin{x}}x\cos{x}dx$ utilizar la integración por partes con $u=x$ y $dv=e^{\sin{x}}\cos{x}\, dx$ .

Para $\int e^{\sin{x}}\tan{x}\sec{x}dx$ utilizar la integración por partes con $u=\sin{x}$ y $dv=\tan{x}\sec{x}\, dx$