Los residuos de $\exp(z-z^{-1})$ $z=0$

Question

Estoy interesado en el residuo de $\exp(z-z^{-1})$$z=0$.

Tenemos $(z-z^{-1})^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}z^{n-k}(-z)^{-k}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k z^{n-2k}$, por lo que

$\exp(z-z^{-1})=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k z^{n-2k}$

Pero como yo lo veo, no tengo realmente una oportunidad para obtener el coeficiente de $a_{-1}$ ya que para cada extraño $n$ no es un porcentaje ($k$tal que $n-2k=-1$.

Edit: no-forma cerrada de los residuos serían $\sum_{n\ \text{odd}}\frac{(-1)^{\frac{n+1}{2}}}{\left(\frac{n+1}{2}\right)!\left(\frac{n+-1}{2}\right)!}$

Answer 1

El residuo es dada por $$ \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=1} e^{z-1/z} \, dz, $$ que es probablemente más fácil de evaluar que una serie. Poner a $z=e^{i\theta}$ da $$ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \exp{(e^{i\theta}-e^{-i\theta})} e^{i\theta} \, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{2i\sin{\theta}} e^{i\theta} \, d\theta $$ Esta es una integral de Fourier, por supuesto. ¿Cuál es la transformada de Fourier de expansión de $e^{2i\sin{\theta}}$? La respuesta es proporcionada por la Jacobi–la Ira de expansión, $$ e^{iz\sin{\theta}} = \sum_{n = -\infty}^{\infty} J_n(z) e^{in\theta}, $$ a partir de la cual vemos que la integral se saca el $n=-1$ coeficiente, $J_{-1}(2)=-J_1(2)$, y la respuesta no puede ser expresado de manera más sencilla.

Answer 2

$$ \begin{align} \left[z^{-1}\right]\sum_{k=0}^\infty\frac{\left(z-z^{-1}\right)^k}{k!} &=\left[z^{-1}\right]\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\left(1-z^2\right)^k}{z^k\,k!}\\ &=\sum_{\substack{k=0\\k\text{ odd}}}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}(-1)^{\frac{k-1}2}\binom{k}{\frac{k-1}2}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!}\binom{2k+1}{k}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k!(k+1)!} \end{align} $$