Supongamos que existe un conjunto $\Gamma$ de medida positiva tal que $\nabla u=0, a.e.\ x\in\Gamma$ .

Question

Supongamos que $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ es un dominio acotado. Sea $u\in H_0^1(\Omega)$ y $\tilde{u}\in L^2(\Omega)$ satisface $$\int_\Omega\nabla u\nabla v=\int_\Omega \tilde{u}v,\ \forall\ v\in C_0^{\infty}(\Omega)$$

Supongamos que existe un conjunto $\Gamma$ de medida positiva tal que $\nabla u=0, a.e.\ x\in\Gamma$ . ¿Cómo se puede demostrar que $\tilde{u}=0,\ a.e.\ x\in\Gamma$ ?

Se agradece cualquier ayuda. Tengo que resolver este problema sin tener en cuenta el hecho de que $\tilde{u}=-\Delta u$ . Sé que tengo que tomar algunas "buenas" $v\in C_0^{\infty}(\Omega)$ Pero, ¿qué $v$ ?

Edición 1: ¿Por qué estoy tratando de resolver este problema? Deja que $p\geq 1$ . Supongamos que $u\in W_0^{1,p}(\Omega)$ y $\tilde{u}\in L^q(\Omega)$ $(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1)$ satisface $$\int_\Omega|\nabla u|^{p-2} \nabla u\nabla v=\int_\Omega \tilde{u}v,\ \forall\ v\in C_0^{\infty}(\Omega)$$

En este caso no tenemos suficiente regularidad para demostrar que $\tilde{u}=-\Delta_p u$ Por lo tanto, necesito un enfoque más directo, y en consecuencia creo que este enfoque es el mismo para ambos casos.

Por último, podemos tener el $\Phi$ -laplaciano también y considerando los espacios donde tiene sentido, tenemos $$\int_\Omega\Phi(|\nabla u|)\nabla u\nabla v=\int_\Omega \tilde{u}v,\ \forall\ v\in C_0^{\infty}(\Omega)$$

Edición 2: En general, considere $\sigma$ una función de valor vectorial. Supongamos que $\sigma$ está en un espacio conveniente y $$\int_\Omega \sigma\cdot\nabla v=\int_\Omega \tilde{u}v,\ \forall\ v\in C_0^{\infty}(\Omega)$$

donde, $\cdot$ significa producto interior. Ahora quiero concluir lo mismo para todos los casos anteriores.

Nota: $\tilde{u}$ se llama divergencia débil de $\sigma$ .

Edición 3: En cualquier conjunto abierto $U$ contenida en $\Gamma$ podemos tomar funciones con supotencia compacta en $U$ y concluir que $\tilde{u}=0,\ a.e.\ x\in U$ pero en el caso general, ¿cómo proceder? ¿Alguna opinión?

La cuestión es: si el cierre de $\Gamma$ tienen el interior vacío, ¿qué tenemos que hacer?

Gracias

Answer 1

Si $\Gamma$ es un dominio acotado, entonces considerando $v \in C_0^\infty(\Gamma) \subset C_0^\infty(\Omega)$ tenemos $$ 0= \int_\Gamma \nabla u \cdot \nabla v =\int_\Gamma \tilde u v$$ Por lo tanto, $\tilde u=0$ en $L^2(\Gamma)$ . No sé qué hacer si $\Gamma$ es menos regular.