Cómo desarrollar la transformada de Fourier en mi mente ahora que sé que la transformada de Fourier Seires?

Question

Sé que podemos representar algo de la función $f$ de esta manera:

$$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) + \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)$$

Porque podemos suponer $f$ está escrita en esta forma, y luego se multiplica si por $\cos(x)$ y también por $\sin(x)$, integrar en su época y, a continuación, utilizar algunas propiedades de los ortogonal de integración a cero cada coeficiente, excepto el que usted necesita. Entonces usted aislar $a_n$ $b_n$ para obtener:

$$\begin{align}a_0 &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\a_n &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) dt \\b_n &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right) dt\end{align} $$

Esto es bueno, puedo entender cómo y por qué podemos escribir los coeficientes de esta manera. He aprendido todo esto en un libro, pero no me explique donde el $a_0$ proviene.

Sin embargo, mi verdadera pregunta es: ¿cómo vamos a partir de esta, a la transformada de Fourier? Lo que hay de bueno acerca de la Serie de Fourier que capaz de crear una transformación? ¿Qué es la intuición? ¿Cuál es la razón de que alguien, en busca de estas series, imaginar una transformación?

Answer 1

Hay una muy buena manera de explicar la conexión de las transformadas de Fourier y la transformada de Fourier de la serie utilizando distribuciones. Primero vamos a escribir la función $f$ como una compleja serie de Fourier $$ f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{\pi x/L}. $$

El siguiente paso es calcular la distribución de la transformada de Fourier de una pura exponencial de la forma $g_n(x)=\exp(in\pi x/L)$, el cual es dado por $\mathcal F(g)=\delta_{n/L}$. El delta de distribución de $\delta_x$ se explican aquí. Es vagamente hablando solamente un pico que se encuentra en $x$ $0$ en otros lugares, no quiero entrar en detalle de la distribución de Fourier. Puesto que la transformada de Fourier es lineal, podemos transformar $f$ encontrar $$ \hat f(\xi)= \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \delta_{n/L}, $$ por lo $\mathcal F(f)$ es un tren de picos. El espaciado entre estos picos es $1/L$, que corresponde a la periodicidad de la función $f$. Ahora bien, si queremos que la transformada de Fourier de un general de cuadrado integrable función no podemos asumir ningún tipo de periodicidad así que nos vamos a $L \rightarrow \infty$. De este modo, la separación entre los picos se hace más pequeño y nos acercamos más y más a cubrir la totalidad de la línea real. Entiendo que este argumento no es hermético, pero debe darle una intuición de lo que la conexión entre la serie de Fourier y las transformadas de Fourier.

En general, el estándar de la transformada de Fourier se define para el cuadrado integrable funciones, por lo que necesitan algún tipo de caries. Serie de Fourier están destinados a ser calculada para las funciones que son periódicas, así que no tienen caries. La distribución de la transformada de Fourier he usado anteriormente se define para las dos clases de manera que puede ser utilizado para desarrollar una intuición para la conexión. También puedo recomendar la lectura de Stephane Mallat del bood Una wavelet tour de procesamiento de la señal, página 50.

Espero que esto ayude...