Quiero integrar
$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^3\sqrt{1-x^2}}.$$
No estoy seguro de por dónde empezar, como he tratado de integración por partes, pero terminan en un continuo círculo
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KGTW
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La manera en que yo lo este enfoque integral es mediante sustitución trigonométrica
$$\int_{a}^{b}\frac{dx}{x^3\sqrt{1-x^2}}.$$ $$x=sin(θ)$$ $$dx=cos(θ)dθ$$ $$\int_{a}^{b}\frac{dθ}{sin^3(θ)\sqrt{1-sin^2(θ)}}.$$ usted puede simplificar $$1-sin^2(θ)=cos^2(θ)$$ $$√(cos^2(θ))=cos(θ)$$ $$\int_{a}^{b}\frac{dθ}{sin^3(θ)\cos(θ)}.$$ Así es el mismo como $$\int_{a}^{b}csc^3(θ)dθ.$$ El es un simple integración por partes. $$\int_{a}^{b}udv=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}vdu.$$ así que tenemos que dar un paso hasta las sustituciones de nuevo. $$u=csc(θ)$$ $$du=-csc(θ)cot(θ)$$ $$dv=csc^2(θ)$$ $$v=-cot(θ)$$ $$\int_{a}^{b}csc^3(θ)dθ=-csc(θ)cot(θ)|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}(-cot(θ))(-csc(θ)cot(θ))dθ.$$ $$\int_{a}^{b}csc^3(θ)dθ=-csc(θ)cot(θ)|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}(csc(θ)cot^2(θ))dθ.$$ podríamos reescribir $$cot^2(θ)=csc^2(θ)-1$$ because we know that $$1+cot^2(θ)=csc^2(θ)$$ $$\int_{a}^{b}csc^3(θ)dθ=-csc(θ)cot(θ)|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}(csc(θ)(csc^2(θ)-1))dθ.$$ $$\int_{a}^{b}csc^3(θ)dθ=-csc(θ)cot(θ)|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}((csc^3(θ)-csc(θ))dθ.$$ podemos añadir la de intergral de $$csc^3(θ)$$ a la izquierda y obtenemos 2. $$\int_{a}^{b}csc^3(θ)dθ=-csc(θ)cot(θ)|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}(csc^3(θ))+\int_{a}^{b}csc(θ)dθ.$$ $$2\int_{a}^{b}csc^3(θ)dθ=-csc(θ)cot(θ)|_{a}^{b}+\int_{a}^{b}csc(θ)dθ.$$ así que simplemente los 2 de la izquierda. y Voilà. tenemos la $$\int_{a}^{b}csc^3(θ)dθ$$ $$\int_{a}^{b}csc^3(θ)dθ=\frac{1}{2}(-csc(θ)cot(θ))|_{a}^{b}+\frac{1}{2}\int_{a}^{b}csc(θ)dθ.$$. $$\frac{1}{2}\int_{a}^{b}csc(θ)dθ-\frac{1}{2}csc(θ)cot(θ))|_{a}^{b}$$. podemos hacer que mi integración un poco más simple que voy a hacer otro de sustitución. pero antes de eso voy a multiplicar el numerador y el denominador de $$csc(θ)$$ by $$cot(θ)+csc(θ)$$. Que nos dará. $$\frac{1}{2}\int_{a}^{b}-\frac{-csc^2(θ)-cot(θ)csc(θ)}{cot(θ)+csc(θ)}dθ-\frac{1}{2}csc(θ)cot(θ))|_{a}^{b}$$. Ahora me voy a sustituir $$ z=cot(θ)+csc(θ) $$ and $$ dz=-csc^2(θ)-cot(θ)csc(θ)dθ $$ $$-\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\frac{1}{z}dz-\frac{1}{2}csc(θ)cot(θ))|_{a}^{b}$$. esta integral se va a dar lugar a -> $$-\frac{1}{2}\ln(z)|_{a}^{b}-\frac{1}{2}csc(θ)cot(θ))|_{a}^{b}$$. a continuación, podemos hacer una copia de sustituir z=$$cot(θ)+csc(θ)$$ que nos dará. $$-\frac{1}{2}\ln(cot(θ)+csc(θ))|_{a}^{b}-\frac{1}{2}csc(θ)cot(θ))|_{a}^{b}$$. Entonces podemos volver sustituto θ así. $$θ=arcsin(x)$$ A continuación, llegamos. $$-\frac{\sqrt{1-x^2}}{2x^2}|_{a}^{b}-\frac{1}{2}\ln\frac{\sqrt{1-x^2}+1}{x}|_{a}^{b} $$ podemos simplificar esto $$ -\frac{\sqrt{1-x^2}+x^2ln\frac{\sqrt{1-x^2}+1}{x}}{2x^2}|_{a}^{b} $$ y podemos simplificar este aún más. $$ -\frac{\sqrt{1-x^2}+x^2(arcsech(x))}{2x^2}|_{a}^{b} $$
la respuesta final es. $$ \frac{1}{2}(\frac{-\sqrt{1-x^2})}{x^2}-ln(\sqrt{1-x^2}+1)+ln(x))|_{a}^{b} $$
simplemente enchufe en b y una . menos los unos de los otros. y esa es la respuesta final
$$ \frac{1}{2}((\frac{-\sqrt{1-b^2})}{b^2}-ln(\sqrt{1-b^2}+1)+ln(b))-(\frac{-\sqrt{1-a^2})}{a^2}-ln(\sqrt{1-a^2}+1)+ln(a))) $$
Anthony Shaw
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El uso de $x=\sqrt{1-u^2}$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{x^3\sqrt{1-x^2}} &=\int\frac{\mathrm{d}\sqrt{1-u^2}}{\sqrt{1-u^2}^3u}\\ &=-\int\frac{\mathrm{d}u}{(1-u^2)^2}\\ &=-\frac14\int\left(\frac1{(1-u)^2}+\frac1{(1+u)^2}+\frac1{1+u}+\frac1{1-u}\right)\,\mathrm{d}u\\ &=C-\frac14\left(\frac1{1-u}-\frac1{1+u}+\log(1+u)-\log(1-u)\right)\\ &=C-\frac14\left(\frac{2u}{1-u^2}+2\log\left(\frac{1+u}{\sqrt{1-u^2}}\right)\right)\\ &=C-\frac12\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}+\log\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)\right)\tag{1} \end{align} $$ La integral anterior se hizo asumiendo que $x\gt0$. Sin embargo, esto puede ser fácilmente extendido por darse cuenta de que el integrando es una función impar, por lo tanto, la integral es una función par. Es decir, el siguiente es válido para todos los $x$: $$ \int\frac{\mathrm{d}x}{x^3\sqrt{1-x^2}} =C-\frac12\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}+\log\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{|x|}\right)\right)\etiqueta{2} $$ Si su dominio de la integración se extiende por el origen, la integral no convergen absolutamente, pero el Valor Principal de Cauchy será dado por $(2)$.
La pregunta ha cambiado, de manera que el dominio de la integración se extiende por el origen. Como se mencionó anteriormente, la integral de ahora no converge absolutamente. Sin embargo, el Valor Principal de Cauchy es $0$.
