Cómo separar el cuadrado de un producto escalar de vectores en un producto de funciones de vectores individuales?

Question

Tengo la siguiente función de dos vectores arbitrarios $X$ $M$

$$f(X,M) = (M^{T} \cdot X)^2 = M^{T} \cdot X \cdot X^{T} \cdot M$$

Puedo expresar la función en $f(X,M) = g(X) \cdot h(M)$ ??

Si sí, entonces, ¿qué va a ser$g(X)$$h(M$)?

Answer 1

No hay tal descomposición es posible cuando la dimensión $n>1$. Si $f(u,v)=\langle u,v\rangle^2 = g(u)^T h(v)$ para todos los vectores $u,v$, luego $$ \left(\frac{\partial^2 f}{\partial u_i\partial v_j}\right)_{i,j\in\{1,\ldots,n\}} =\ 2vu^T + 2\operatorname{diag}(\langle u,v\rangle)\ =\ g'(u)^T h'(v). $$ En particular, si $u$ es un vector unitario, entonces $\det\left(g'(u)^T h'(u)\right)=\det(2uu^T+2I)=4\not=0$. Sin embargo, mediante la diferenciación de $f$ w.r.t. $u$, obtenemos $2\langle u,v\rangle v = g'(u)^T h(v)$. Al $n>1$, si la ponemos a $v\perp u$, obtenemos $g'(u)^T h(v)=0$ y, por tanto,$\det\,g'(u)=0$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no podemos descomponer $\langle u,v\rangle^2$ en un producto de funciones $g(u)^T h(v)$ al $n>1$.

Answer 2

Una solución trivial, que es probablemente el único es el siguiente:

$$g(A) = M \cdot A\\h(A) = X \cdot A$$

que trivialmente produce el resultado que usted desea.