Por ejemplo, si Chebyshev dice $P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq 0.25$ y la probabilidad real de $k=2$ es también $0.25$ .
Respuesta
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Dado un número real $\mu$ y un número real positivo $\sigma$ consideremos una variable aleatoria discreta $X$ que adquiere valores $\mu$ , $\mu+2\sigma$ y $\mu-2\sigma$ con probabilidades $\frac{3}{4}, \frac{1}{8}$ y $\frac{1}{8}$ respectivamente. Es fácil comprobar que $E[X] = \mu$ , $\operatorname{var}(X) = \sigma^2$ . Para esta variable aleatoria, $$P\{|X-\mu| \geq 2\sigma\} = P\{|X-\mu| = 2\sigma\} = 0.25$$ exactamente.
En términos más generales, para $a > 1$ una variable aleatoria $X$ que adquiere valores $\mu$ , $\mu+a\sigma$ y $\mu-a\sigma$ con probabilidades $\frac{a^2-1}{a^2}, \frac{1}{2a^2}$ y $\frac{1}{2a^2}$ goza respectivamente de la propiedad de que $E[X] = \mu$ , $\operatorname{var}(X) = \sigma^2$ , y para esta variable aleatoria $$P\{|X-\mu| \geq a\sigma\} = P\{|X-\mu| = a\sigma\} = \frac{1}{a^2}$$ exactamente.
Se trata de una distribución discreta para la que la desigualdad de Chebyshev es satisface con igualdad (cf. el comentario de @glen_b). ¿Puede encontrar otras soluciones? Por ejemplo, ¿puede poner masas más pequeñas más lejos de de la media que $a\sigma$ para que la varianza siga siendo $\sigma^2$ y La desigualdad de Chebyshev se cumple con igualdad en $a\sigma$ ? ¿Por qué sí o por qué no?
