Aproximación de $L^1$ con una función suave compactamente soportada con la misma masa y los mismos límites uniformes

Question

Recientemente, he preguntado este pregunta. Ahora, incluso quiero mejorar esto.

Dado $f\in L^1(\mathbb{R})$ con $0\leq f\leq 1$ que puedo encontrar para cualquier $\epsilon>0$ a $g\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ tal que $\|f-g\|_{L^1}\leq \epsilon$ .

Puedo asumir wlog que $\|f\|_{L^1} = \|g\|_{L^1}$ y $0\leq g \leq 1$ ?

Answer 1

Sí, puede encontrar tal $g$ . En primer lugar, para cualquier $\epsilon_1 > 0$ podemos encontrar un $g_0 \in C_c(\mathbb{R})$ tal que $\lVert f-g_0\rVert_{L^1} < \epsilon_1$ . Entonces defina $g_1(x) = \max \{ 0, \min \{ 1, g_0(x)\}\}$ Esto da como resultado $g_1 \in C_c(\mathbb{R})$ con $0 \leqslant g_1 \leqslant 1$ y para cada $x\in \mathbb{R}$ tenemos $\lvert f(x) - g_1(x)\rvert \leqslant \lvert f(x) - g_0(x)\rvert$ Así que

$$\lVert f-g_1\rVert_{L^1} \leqslant \lVert f-g_0\rVert_{L^1} < \epsilon_1.$$

A continuación, apaciguamos $g_1$ para obtener $g_2\in C_c^{\infty}(\mathbb{R})$ con $0 \leqslant g_2 \leqslant 1$ y $\lVert f-g_2\rVert_{L^1} < 2\epsilon_1$ . Para ello, toma $\varphi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})$ con $0 \leqslant \varphi$ y $\int_{\mathbb{R}} \varphi(x)\,dx = 1$ y definir

$$h_{\eta}(x) = (g_1 \ast \varphi_{\eta})(x) = \int_{\mathbb{R}} g_1(x-\eta\cdot y)\varphi(y)\,dy$$

para $\eta > 0$ . Entonces $h_{\eta} \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})$ , $0 \leqslant h_{\eta} \leqslant 1$ y $h_{\eta} \to g_1$ como $\eta \to 0$ en $L^1$ (y de manera uniforme), por lo que podemos elegir $\eta$ lo suficientemente pequeño como para que $\lVert g_1 - h_{\eta}\rVert_{L^1} < \epsilon_1$ y establecer $g_2 = h_{\eta}$ .

Si ya tenemos $\lVert g_2\rVert_{L^1} = \lVert f\rVert_{L^1}$ ya hemos terminado. Si $\lVert g_2\rVert_{L^1} > \lVert f\rVert_{L^1}$ multiplicamos por el factor de escala $\frac{\lVert f\rVert_{L^1}}{\lVert g_2\rVert_{L^1}}$ para obtener $g_3 \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})$ con $0 \leqslant g_3 \leqslant \frac{\lVert f\rVert_{L^1}}{\lVert g_2\rVert_{L^1}} < 1$ y $\lVert f - g_3\rVert_{L^1} < 4\epsilon_1$ . Si finalmente $\lVert g_2\rVert_{L^1} < \lVert f\rVert_{L^1}$ , elija $h \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ con $0 \leqslant h \leqslant 1$ y $\int h(x)\,dx = \lVert f\rVert_{L^1} - \lVert g_2\rVert_{L^1}$ y establecer $g_3(x) = g_2(x) + h(x-s)$ , donde $s\in \mathbb{R}$ es tan grande que los soportes de $g_2$ y $h(\,\cdot\, - s)$ no se cruzan. Esto último garantiza que todavía tenemos $0 \leqslant g_3 \leqslant 1$ y la positividad de $g_2$ y $h$ asegura $\lVert g_3\rVert_{L^1} = \lVert g_2\rVert_{L^1} + \lVert h\rVert_{L^1} = \lVert f\rVert_{L^1}$ . Desde $\lVert g_2\rVert_{L^1} \geqslant \lVert f\rVert_{L^1} - 2\epsilon_1$ se deduce que aquí también tenemos $\lVert f - g_3\rVert < 4\epsilon_1$ por lo que para un determinado $\epsilon > 0$ elegimos $\epsilon_1 = \frac{1}{4}\epsilon$ para nuestra construcción.