diagonal de un cuadrilátero

Question

Tenemos tres lados de un cuadrilátero dado, cada uno de los laterales de longitud y 20.El tercer lado de longitud es conocido por ser menor que la longitud de 100. Determinar el área máxima de un cuadrilátero.

Me imagino que la respuesta es: cuando es un cuadrado, pero no tengo ninguna prueba. ¿Cómo podemos hacer esto?

Answer 1

OK, aquí está el plan de cómo resolver este problema:

1) El cuadrilátero con la máxima área existe. No es difícil mostrar, usted está buscando para un máximo de una función continua en un conjunto compacto.

2) Este cuadrilátero es convexo - de nuevo no es difícil de demostrar; aquí está la sugerencia:

3) Deje que ABCD sea el cuadrilátero con el área máxima. Si denotamos conocido lados como $AB$, $BC$, $CD$, por lo $|AB|=|BC|=|CD|=20$,$\angle ABD=\angle ACD=\frac{\pi}{2}$:

4) Ahora usted será capaz de encontrar $AD$ y ángulos.

Answer 2

Esta es una poligonal caso de Dido del Problema, y tiene la misma solución con el isoperimétrico principio.

Para una escuela primaria de la solución, no asumiendo el conocimiento del problema isoperimétrico (o poligonal analógica), se puede argumentar que si los tres lados AB, BC, CD y, a continuación:

• ABCD es convexo

• BC es paralelo a AD

• AC y dc tienen el mismo mediatriz

así que el único parámetro libre es el ángulo ACB, que puede ser elegido para maximizar el área.