- Cuando se trate del diseño y fabricación de un arma de categoría A;

Question

Me disculpo de antemano : lo que sigue es un poco de un desastre. También, yo creo que puede ser un gran tautología, pero yo no lo veo todavía. Mi pregunta es acerca de la relación de Cech cohomology y cohomology de un (poset-)categoría con valores en un functor. Me acuerdo de algunas definiciones. En lo que sigue, $k$ es un (posiblemente conmutativa) unital anillo, $X$ es un espacio topológico y $\mathcal{F}$ es un (pre)gavilla de $k$-módulos en $X$.

1. Cohomology de una categoría pequeña con valores en un functor. Deje $\mathcal{C}$ ser una pequeña categoría. El functor categoría $$k\mathcal{C}\mathrm{Mod}:=\mathrm{Fun}\big(\mathcal{C},k\mathrm{Mod}\big)$$ (con functors como objetos, naturales y transformaciones como morfismos) es un abelian categoría con suficiente injectives y projectives. Por lo tanto functors $F,G:\mathcal{C}\to k\mathrm{Mod}$ admite proyectiva y inyectiva resoluciones, uno puede definir Ext grupos $$\mathrm{Ext}^*_{k\mathcal{C}\mathrm{Mod}}(F,G)$$ realizando pruebas de cualquiera de las $\mathrm{Hom}_{k\mathcal{C}\mathrm{Mod}}(F,\:\:)$ a un inyectiva resolución de $0\to G\to I_*$ $G$ y tomando homología, o por pruebas de $\mathrm{Hom}_{k\mathcal{C}\mathrm{Mod}}(\:\:,G)$ a una resolución proyectiva $P_*\to F\to 0$ $F$ y, de nuevo, tomando la homología. El cohomology de $\mathcal{C}$ con valores en $F$ se define como $$\mathbf{H}^*(\mathcal{C},F):=\mathrm{Ext}^*(\underline{k},F)$$ donde $\underline{k}$ es la constante functor igual a $k$ : envía todos los objetos de $\mathcal{C}$$k$, y todos los morfismos a la identidad de $\mathrm{id}:k\to k$.
2. Cohomology grupo de una gavilla relativa a una cubierta. (No estoy seguro de que es la terminología correcta.) Deje $\mathcal{U}$ ser una cubierta abierta de a $X$. Por lo general, cuando la definición de Cech cohomology esto significa "un conjunto $I$ y un mapa de la $U:I\to\lbrace$ abierto todos los subconjuntos de a $X\:\rbrace=\tau_X$ tal que $\bigcup_{i\in I}U_i=X$", pero lo voy a decir con "una auto-indexada apertura de la tapa", es decir, un subconjunto $\mathcal{U}\subset\tau_X$$\bigcup\mathcal{U}=X$. Hay cohomology grupos $$H^*(\mathcal{U},\mathcal{F})$$ asociados a la cubierta y la gavilla : estos son los grupos de homología de la Cech complejo $$\prod_{u_0\in\mathcal{U}}\mathcal{F}(u_0)\longrightarrow\prod_{(u_0,u_1)\in\mathcal{U}^2}\mathcal{F}(u_0\cap u_1)\longrightarrow\prod_{(u_0,u_1,u_2)\in\mathcal{U}^3}\mathcal{F}(u_0\cap u_1\cap u_2)\longrightarrow\cdots$$
3. Cualquier poset $(P,\prec)$ puede considerarse una pequeña categoría de la que se hicieron los objetos de los puntos de $P$ y morfismos conjuntos definidos de la siguiente manera : para los objetos $x,y\in P$ $$\mathrm{mor}(x,y)=\begin{cases}\lbrace * \rbrace & \text{if }x\preceq y\\ \emptyset & \text{if }x\npreceq y\end{casos}$$ Una apertura de la tapa (de la auto-indexada tipo) es un poset con el fin de relación $\prec$ se define como la inclusión $\subset$.
4. La gavilla $\mathcal{F}$ induce un functor $$\mathcal{F}\big|_{\mathcal{U}}:\mathcal{U}^{\mathrm{op}}\to k\mathrm{Mod}$$ y podemos definir su cohomology grupos $$\mathbf{H}^*\left(\mathcal{U}^{\mathrm{op}},\mathcal{F}\big|_{\mathcal{U}}\right)$$

La pregunta obvia es :

Pregunta 1 : Son los grupos cohomology $$H^*(\mathcal{U},\mathcal{F})\quad\text{and}\quad \mathbf{H}^*\left(\mathcal{U}^{\mathrm{op}},\mathcal{F}\big|_{\mathcal{U}}\right)$$ isomorfo?

Si eso es así, entonces, presumiblemente, también hay un functor de la poset categoría $Cov(X)$ de (auto-indexada) abra las cubiertas de $X$ a que en clasificados-álgebras conmutativas que lleva una cubierta abierta $\mathcal{U}$$\mathbf{H}^*\left(\mathcal{U}^{\mathrm{op}},\mathcal{F}\big|_{\mathcal{U}}\right)$.

Como en el caso Cech cohomology, uno primero tiene que definir un functor en la categoría de $\widetilde{Cov}(X)$ de abra las cubiertas donde "morfismos = elección de las funciones" (si una cubierta $\mathcal{V}$ es más que una tapadera $\mathcal{V}$, para la elección de las funciones de la más fina cubierta para el grueso de la cubierta que tomar un conjunto abierto de la multa de la cubierta y la mano de nuevo un conjunto abierto en el grueso de la cubierta que contiene).

Pregunta 2 : Es la Cech cohomology isomorfo a la cohomology de la poset categoría de apertura de la tapa con valores en el functor $\mathcal{U}\mapsto \mathbf{H}(\mathcal{U}^{\mathrm{op}},\mathcal{F}\big|_{\mathcal{U}})$, es decir, $$\check{H}^*(X,\mathcal{F})\simeq \mathbf{H}^*\Big(Cov(X),\mathbf{H}\big(\:?^{\mathrm{op}}\:,\mathcal{F}\big|_{\mathcal{\:?\:}}\big)\Big)$$

En algunas notas por Brian de Conrad, se muestra que la aumentada de la cadena de complejos asociados para el conjunto simplicial $WI$ es cíclico, es decir, que es una resolución libre de $k$.

$\Big[I$ es arbitraria (no vacío), $WI$ es el conjunto simplicial con $(WI)_0=I$, $(WI)_1=I\times I$, $(WI)_2=I\times I\times I$, $\dots$, con cara de mapas de $d_i:(WI)_n\to(WI)_{n-1}$ que cancelar la $i$-th coordinar, degeneraciones $s_i:(WI)_n\to(WI)_{n+1}$ que duplicar la $i$-ésima coordenada.$\Big]$

Pregunta 3 : es gratuito resolución (al $I=\mathcal{U}$ es una cubierta abierta) de alguna manera vinculado a una resolución proyectiva de la constante functor $\underline{k}:\mathcal{U}^{\mathrm{op}}\to k\mathrm{Mod}$? Si es así, ¿cómo?

Edit : para hacer las cosas más claras, cohomology de una categoría con valores en un functor que está en negrita : $$\mathbf{H}^*(\mathrm{category},\mathrm{functor}).$$

Answer 1

Permítanme abordar algunos puntos generales en lugar de responder a su pregunta directamente.

El cohomology de una categoría de pequeña ya tiene una definición aceptada: por desgracia, no es el das. Más bien, la cohomology de una pequeña categoría $\mathbb{C}$ es el topos de la teoría de la cohomology de la presheaf topos $[\mathbb{C}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$, o lo que es equivalente, el derecho derivado de functors global de las secciones functor $\Gamma (1, -) : [\mathbb{C}^\mathrm{op}, \mathbf{Ab}] \to \mathbf{Ab}$ (que está representado por la constante presheaf con valor de $\mathbb{Z}$). En general, esto no es trivial; pero suele ser $\mathbb{C}$ es una categoría con un terminal de objeto, en cuyo caso $\Gamma (1, -)$ es un functor exacto y ha trivial derecho derivado de functors.

Así que en su lugar nos fijamos en el derecho derivado de functors de la functor $\Gamma (U, -) : [\mathbb{C}^\mathrm{op}, \mathbf{Ab}] \to \mathbf{Ab}$ donde $U$ es un presheaf en $\mathbb{C}$ (es decir, functor $\mathbb{C}^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$) y $\Gamma (U, \mathscr{F})$ es el conjunto de todos los presheaf morfismos $U \to \mathscr{F}$ equipada con el grupo abelian estructura inducida por $\mathscr{F}$. Esta resulta ser una generalización de Čech cohomology con respecto a una cubierta.

De hecho, vamos a $X$ ser un espacio topológico y deje $\mathbb{C}$ ser el poset de abrir los subconjuntos de a $X$. Entonces cualquier abra la cubierta $\{ U_i : i \in I \}$ $X$ define un presheaf $\mathfrak{U}$: tenemos $\mathfrak{U} (U) = 1$ si $U$ es en algunas de las $U_i$, e $\mathfrak{U} (U) = \emptyset$ lo contrario. Yo afirmación de que el derecho derivado de functors de $\Gamma (\mathfrak{U}, -)$ puede ser calculado por el Čech cohomology con respecto a la cubierta de la $\mathfrak{U}$. De hecho, vamos a $\mathbb{Z} \mathfrak{U}$ ser el libre abelian presheaf generado por $\mathfrak{U}$. A continuación, el Čech complejo de cadena $$\cdots \longrightarrow \bigoplus_{(i_0, i_1, i_2) \in I^3} \mathbb{Z} (U_{i_0} \cap U_{i_1} \cap U_{i_2}) \longrightarrow \bigoplus_{(i_0, i_1) \in I^2} \mathbb{Z} (U_{i_0} \cap U_{i_1}) \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z} U_i$$ es un proyectiva resolución de $\mathbb{Z} \mathfrak{U}$ donde $\mathbb{Z} U$ denota la abelian presheaf donde $\mathbb{Z} U (V) = \mathbb{Z}$ si $V \subseteq U$ $\mathbb{Z} U (V) = 0$ lo contrario. Está claro que $\Gamma (\mathfrak{U}, -)$ es isomorfo a $\mathrm{Hom} (\mathbb{Z} \mathfrak{U}, -)$, y por lo tanto tenemos $$H^* (\mathfrak{U}, \mathscr{F}) \cong \mathrm{Ext}^* (\mathfrak{U}, \mathscr{F}) \cong R^* \Gamma (\mathfrak{U}, \mathscr{F})$$ como se reivindica.

El refinado Čech cohomology grupos, definidos por tomar el colimit largo de toda la cubierta de las familias, también puede ser definido en términos de la derivada de functors en la categoría de abelian presheaves. Los detalles se explican aquí. Sin embargo, yo no diría que es el cohomology de cualquier categoría en particular. (De hecho, esto no puede ser, porque $\check{H}{}^0 (X, -)$ no conserva todos los límites, sino $R^0 \Gamma (1, -)$ siempre conserva todos los límites.)

Para obtener estándar gavilla cohomology (en lugar de estas otras aproximaciones!), se debe pasar a la categoría de (abelian) las poleas. Pero que rara vez tiene suficiente proyectivas de los objetos, por lo que no es del todo claro lo que uno podría decir por resolución proyectiva.