Cómo probar :$\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{u_{n+1}}{u_1.u_2...u_n}\right)^2=2011$

Question

Para la secuencia de la $u_n$ satisfing : $$\begin{cases} u_1=\sqrt{2015}\\ u_{n+1}=u_n^2-2\end{cases}$$ Cómo probar : $$\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{u_{n+1}}{u_1.u_2...u_n}\right)^2=2011$$

Answer 1

La recurrencia de la relación puede ser expresada como $$ {u_{n}}^2 = \frac{{u_{n+1}}^2 - 4}{{u_{n}}^2 - 4}. $$

Que permite telescópica de cancelación,

$$ \begin{align*} \left ({u_{1}}{u_{2}}\cdots{u_{n}}\right )^2 &= \left (\frac{\color{#036}{{u_{2}}^{2} - 4}}{{u_{1}}^2 - 4} \right ) \left ( \frac{\color{#063}{{u_{3}}^{2} - 4}}{\color{#036}{{u_{2}}^2 - 4}} \right ) \cdots \left ( \frac{{u_{n+1}}^{2} - 4}{\color{#630}{{u_{n}}^2 - 4}} \right )\\[10pt] &= \frac{{u_{n+1}}^2 - 4}{{u_{1}}^2 - 4}. \end{align*} $$

Por lo tanto,

$$ \begin{align*} \lim_{n\to\infty} \left ( \frac{u_{n+1}}{{u_{1}}{u_{2}}\cdots{u_{n}}} \right )^2 &= \lim_{n\to\infty} {u_{n+1}}^2 \cdot \frac{{u_{1}}^2 - 4}{{u_{n+1}}^2 - 4}\\ &= \lim_{n\to\infty} \left ( {u_{1}}^2 - 4\right ) \cdot \frac{1}{1 - 4/{u_{n+1}}^2}\\ &= {u_{1}}^2 - 4 &\text{since %#%#%}. \end{align*} $$

Sustituyendo $\lim_{n\to\infty} 1/u_{n+1} = 0$ se obtiene el resultado final

$u_1 = \sqrt{2015}$$

Answer 2

Aquí yo uso sus propiedades como un aditivo telescópico de la serie: $$\left(\frac{u_n^2-2}{u_1\cdots u_n}\right)^2=\frac{u_n^4}{(u_1\cdots u_n)^2}-\frac{4u_n^2}{(u_1\cdots u_n)^2}+\frac{4}{(u_1\cdots u_n)^2}$$ $$=\frac{u_n^2}{(u_1\cdots u_{n-1})^2}-\frac{4}{(u_1\cdots u_{n-1})^2}+\frac{4}{(u_1\cdots u_n)^2}$$ Sustituir de nuevo: $$=\left(\frac{u_{n-1}^2}{(u_1\cdots u_{n-2})^2}-\frac{4}{(u_1\cdots u_{n-2})^2}+\frac{4}{(u_1\cdots u_{n-1})^2} \right)-\frac{4}{(u_1\cdots u_{n-1})^2}+\frac{4}{(u_1\cdots u_n)^2}$$ $$=\frac{u_{n-1}^2}{(u_1\cdots u_{n-2})^2}-\frac{4}{(u_1\cdots u_{n-2})^2}+\frac{4}{(u_1\cdots u_n)^2}$$ Y de nuevo: $$=\left(\frac{u_{n-2}^2}{(u_1\cdots u_{n-3})^2}-\frac{4}{(u_1\cdots u_{n-3})^2}+\frac{4}{(u_1\cdots u_{n-2})^2} \right)-\frac{4}{(u_1\cdots u_{n-2})^2}+\frac{4}{(u_1\cdots u_n)^2}$$

$$=\frac{u_{n-2}^2}{(u_1\cdots u_{n-3})^2}-\frac{4}{(u_1\cdots u_{n-3})^2}+\frac{4}{(u_1\cdots u_n)^2}$$

Reapeat este proceso ad infinitum (teniendo en cuenta que $\lim_{n \rightarrow \infty}u_n= \infty$):

$$=\frac{u_{2}^2}{(u_1)^2}-\frac{4}{(u_1)^2}+\frac{4}{(u_1\cdots u_n)^2}$$

Y tomar el límite de $n \rightarrow \infty$:

$$=\frac{(2015-2)^2}{2015}-\frac{4}{2015}+0$$ $$=\frac{2015^2-4\cdot 2015 +4}{2015}-\frac{4}{2015}$$ $$=2015-4=2011$$

Answer 3

\begin{aligned} u_{n+1} = {u_{n}}^2 - 2 \\ {u_{n+1}}^2 = ({u_{n}}^2 - 2)^2 \\ {u_{n+1}}^2 = {u_{n}}^4 - 4{u_{n}}^2 + 4 \\ {u_{n+1}}^2 - 4 = {u_{n}}^2({u_{n}}^2 - 4) \\ {u_{n}}^2 = \frac{{u_{n+1}}^2 - 4}{{u_{n}}^2 - 4} \end{aligned}