La existencia de la Energía de la Ecuación de Onda

Question

Yo estaba pasando por algunas de las propiedades de la ecuación de onda, incluyendo la energía de la ecuación de onda dada por $E(t)=\int_{-\infty}^{\infty}u_t^2+c^2u_x^2 dx$, yo.e la suma de la energía potencial y cinética.

Nunca he encontrado algo sobre la existencia (convergencia) de esta integral, por lo que mi pregunta es, ¿por qué esta integral existe?

Answer 1

La energía no necesita ser finito. Sin embargo, si usted elige una condición inicial $u(t=0)$ $$E(t=0) =\int_{-\infty}^\infty[u_t^2(x,0) + c^2 u_x^2(x,0)] \,dx \leq \infty$$ y, además, $\lim_{|x|\to\infty} u_x u_t =0$ para todos los tiempos, entonces la energía sigue siendo finito porque $$\begin{align}\frac{d}{dt} E(t) &= \frac{d}{dt} \int_{-\infty}^\infty(u_t^2 + c^2 u_x^2) \,dx =2 \int_{-\infty}^\infty(u_t u_{tt} + c^2 u_x u_{xt} ) \,dx\\ &= 2c^2u_{x}u_t\Big|_{x=-\infty}^{\infty}-2 \int_{-\infty}^\infty \underbrace{(u_t u_{tt} - c^2 u_{xx}u_{t} )}_{u_t (u_{tt} -c^2 u_{xx}) =0}dx=0 \end{align}$$