Lipshitz función medible y conjuntos de

Question

Pido disculpas si esta pregunta se ha repetido ya. No puedo entender este problema:

Vamos a una función de $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ que ser un Lipshitz función con una constante c, demostrar que asigna un conjunto de medida de Lebesgue cero en un conjunto de medida de Lebesgue cero y un Lebesgue medibles en un lebesgue medibles conjunto.

Ahora, me las arreglé para hacer la primera parte, pero la parte de los conjuntos medibles no es tan fácil para mí. Si me tomo un subconjunto abierto de $[a,b]$ será abierto y acotado, por tanto lebesgue medible, pero su imagen no necesariamente ser abierto, que puede ser cerrado, aunque todavía limitada... tendría necesariamente que ser medible? no puede ir más lejos de aquí.

Estudié bebé Rudin y Royden&Fitzpatrick, estos libros definir conjuntos medibles de diferentes maneras, no puede fidure que aplicar aquí...

Answer 1

Deje $E $ ser medibles. Por el interior de la regularidad, $$m (E)=\sup\{m (K):\ K\subset E, \ K \text { compact }\}. $$ So we can write $$E=E_0\cup\bigcup_nK_n, $$ an increasing union of compacts, and $E_0$ un conjunto null. Ahora $$ f (E)=f (E_0)\cup\bigcup_nf (K_n), $$ a la unión de un conjunto null y compacta, de manera mensurable.