Aplicación de la Burkholder Davis Gundy la desigualdad

Question

La prueba de Feynman-Kac fórmula utiliza un lema que necesito para la prueba, pero no puedo averiguar.

El lema es el siguiente:

Deje $X$ ser una solución débil de $$dX_t=b(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dW_t$$ Con $b$ $\sigma$ continuo y la satisfacción de los lineales de la condición de crecimiento: $$|b(t,x)|+|\sigma(t,x)|\leq K(1+|x|)$$ Entonces para un tiempo finito $T$ $p\geq 2$ hay una constante $C$ tal que $$\mathbb{E}\sup_{t\leq T}|X_t|^p\leq Ce^{CT}(1+\mathbb{E}|X_0|^p)$$

Esta prueba de este lema debe utilizar el Burkholder Davis Gundy la desigualdad:

Deje $p \geq 2$. Existe una constante $C_p$ tal que para todo continuo local martingales $M$ $M_0 = 0$ y todos finito tiempos de parada $T$ uno tiene $$\mathbb{E} \sup_{t \leq T} |M_t|^p \leq C_p \mathbb{E}\langle M \rangle_T^{p/2}$$

Y tal vez también debería utilizar Doobs la desigualdad.

Alguien me puede ayudar con los detalles?

Gracias

Answer 1

Deje $(X_t)_{t \geq 0}$ ser una solución débil de la SDE, es decir, existe un movimiento Browniano $(B_t)_{t \geq 0}$ tal que

$$X_t = X_0 + \int_0^t b(s,X_s) \, ds + \int_0^t \sigma(s,X_s) \, dB_s.$$

El uso de la primaria de la estimación

$$(a+b+c)^p \leq 3^p (a^p+b^p+c^p), \qquad a,b,c \geq 0,$$

nos encontramos

$$|X_t|^p \leq 3^p |X_0|^p + 3^p \left| \int_0^t b(s,X_s) \, ds \right|^p + 3^p \left| \int_0^t \sigma(s,X_s) \, dB_s \right|^p. \tag{1}$$

Estimamos que los términos por separado. Por la desigualdad de Jensen (aplicado con la probabilidad de medida $\frac{ds}{t}$), obtenemos

$$\begin{align*} \left| \int_0^t b(s,X_s) \, ds \right|^p &= t^p \left| \int_0^t b(s,X_s) \, \frac{ds}{t} \right|^p\\ &\leq t^{p-1} \int_0^t |b(s,X_s)|^p \, ds \\ &\leq K^p T^{p-1} \int_0^t (1+|X_s|^p) \,ds \\ &\leq K^p T^{p-1} \int_0^t \left( 1+ \sup_{r \leq s} |X_r|^p \right) \, ds\end{align*}$$

para cualquier $t \in [0,T]$. En la penúltima línea, hemos utilizado el crecimiento lineal condición. Con el fin de estimar el tercer término en $(1)$, se aplica el Burkholder-Davis-Gundy desigualdad para obtener

$$\begin{align*} \mathbb{E} \left( \sup_{r \leq t} \left| \int_0^r \sigma(s,X_s) \, dB_s \right|^p \right) &\leq C_p \mathbb{E} \left( \left| \int_0^t |\sigma(s,X_s)|^2 \, ds \right)^{p/2} \right). \end{align*}$$

Usando la desigualdad de Jensen como por encima de los rendimientos

$$\begin{align*} \mathbb{E} \left( \sup_{r \leq t} \left| \int_0^r \sigma(s,X_s) \, dB_s \right|^p \right) &\leq C_p t^{p/2-1} \mathbb{E} \left( \int_0^t |\sigma(s,X_s)|^p \, ds \right) \\ &\leq C_p T^{p/2-1} K^p \mathbb{E}\left( \int_0^t (1+|X_s|^p) \, ds \right) \\ &\leq C_p T^{p/2-1} K^p \int_0^t \left(1+ \mathbb{E}\left[ \sup_{r \leq s} |X_r|^p \right] \right) \, ds. \tag{3} \end{align*}$$

La adición de todos, conseguimos

$$\mathbb{E} \left( \sup_{r \leq t} |X_r|^p \right) \leq 3^p \mathbb{E}|X_0|^p + \underbrace{3^p K^p \left( T^{p-1} + T^{p/2-1} C_p \right)}_{=: \tilde{C}} \int_0^t \left(1+ \mathbb{E}\left[ \sup_{r \leq s} |X_r|^p \right] \right) \, ds.$$

Esto significa que

$$u(t) := \mathbb{E} \left( \sup_{r \leq t} |X_r|^p \right)$$

satisface

$$u(t) \leq (3^p \mathbb{E}|X_0|^p + \tilde{C} T) + \tilde{C} \int_0^t u(s) \, ds$$

para cualquier $t \in [0,T]$. Ahora el reclamo de la siguiente manera a partir de Gronwall del lexema.

Referencia: René Schilling, Lothar Partzsch: Movimiento Browniano de Una Introducción a los Procesos Estocásticos, en el Capítulo 19 (2ª edición).