Estoy buscando en la solución que se ofrece en mis notas de la conferencia para la solución de esta Mordell ecuación:
$$y^2 = x^3 − 2$$
que factores:
$$ (y- \sqrt {-2})(y+ \sqrt {-2}) = x^3.$$
En las notas de la conferencia demuestra que estos dos factores son coprime, lo que significa que el ideal de $< y- \sqrt {-2},y+ \sqrt {-2} >$ es la unidad ideal $O_K$$K= \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$.
La prueba se muestra con la parte no entiendo en negrita.
'Primero hemos de comprobar si los factores en el lado izquierdo se coprime. Cualquier factor común tendría que dividir $2 \sqrt{−2}$ y por lo tanto ser una potencia del primer $<\sqrt{−2}>$ por encima de los 2. Esto obligaría a $y$ a ser aún; pero si $y$ es incluso, a continuación, $x$ es también y, por tanto, $x^3 − 2$ $2$ mod $4$, lo cual es una contradicción'
¿cuál sería el enfoque general para mostrar que los dos factores son coprime para un Mordell ecuación?
