Ayudar a plantear una prueba sobre el círculo $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$

Question

16. Dado que el círculo

$$x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$$

toca el $y$ -eje, demostrar que $f^{2} = c$ .

Entonces, como el círculo toca el $y$ -sabemos que existe una solución a esta ecuación donde $x = 0$ por lo que podemos decir:

$y^{2} + 2fy + c = 0$

Y ahora la respuesta parece tan asequible, porque, al factorizar esta cuadrática, tendremos:

$(y + f)^{2} = 0$ , donde $f = \sqrt{c}$ . Pero no sé, ¿es eso suficiente para constituir la prueba? No parece muy bien explicado, sólo me guío por mi experiencia en ecuaciones cuadráticas.

Intenté reescribir la ecuación como:

$(y + f)^{2} - f^{2} + c = 0$ que parece tan cercano - pero no he podido hacer nada con esto.

Entonces, ¿cómo hago esto formalmente?

Answer 1

Por "toca" entiendo que el problema pretende la tangencia, o "toca exactamente en un punto". Si este es el caso, la respuesta puede ser obtenida por la fórmula cuadrática, o en realidad sólo su discriminante.

Ahora, llama a $(x_0,y_0)$ el punto de tangencia (es bueno distinguir entre puntos particulares y "variables" que se utilizan en la ecuación del círculo). Por supuesto, $x_0 = 0$ como dijiste. También has dicho correctamente que $y_0$ debe satisfacer la cuadrática $$y_0^2+2fy_0+c = 0$$ Mira el discriminante de la cuadrática: $$\Delta = 4f^2 - 4c = 4(f^2 - c)$$ Si $y_0$ es el sólo punto en el que el círculo se cruza con el $y$ -eje, ¿cuál debe ser el discriminante?

Answer 2

Si el $y$ -eje toca el círculo, entonces el punto medio se encuentra $r$ por encima del $y$ -eje para que tenga punto medio $(r,a)$ o $(-r,a)$ para algunos $a$ . Por lo tanto, la fórmula del círculo es $(x-r)^2+(y-a)^2=r^2$ o $(x+r)^2+(y-a)^2=r^2$

Podemos reescribir su ecuación como $(x+g)^2+(x+f)^2=g^2+f^2-c$ . Además, $g=\pm r$ Así que $g^2=r^2$ por lo que la ecuación es $(x+g)^2+(x+f)^2=r^2+f^2-c$ . Esto da $f^2-c=0$ Así que $f^2=c$ .