Cierre e interior del subespacio

Question

Dejemos que $A\subseteq Y \subseteq X$ sean espacios métricos. ¿Qué hace Cl $_X(A)$ o Cl $_Y(A)$ ¿quieres decir?

Por ejemplo, dejemos que $X=[0,10],Y=[1,9]$ y $A=(4,6)$ .

Es $Cl_X(A)= Cl_Y(A)=[4,6]$ ?

Entiendo que $Int(X)=(0,10), Int(Y)=(1,9), Cl(A)=[4,6]$ pero la notación es un poco confusa cuando se encuentra el cierre de un subespacio y no estoy seguro de lo que significa. Esta pregunta fue un poco útil para la referencia:

Cierre de la topología del subespacio

Answer 1

Cuando $A$ es un subconjunto de un espacio topológico $X$ entonces el cierre de $A$ es el conjunto cerrado más pequeño de $X$ que contiene $A$ . Análogamente, el interior de $A$ es el mayor conjunto abierto de $X$ contenido en $A$ .

En los casos en que $A$ es un subconjunto de más de un espacio topológico de interés, como en el ejemplo $A\subseteq Y\subseteq X$ donde $Y$ es un subespacio de $X$ se acostumbra a señalar con respecto a qué topología se toma el cierre/interior, es decir $Cl_X(A), Int_Y(A)$ etc.

Esta especificación es importante ya que incluso cuando $Y$ es un subespacio de $X$ el cierre de $A$ con respecto a $Y$ puede ser diferente del cierre con respecto a $X$ . Lo mismo ocurre con el interior. Esto sucede porque mientras las topologías de $Y$ y $X$ están íntimamente relacionados, no son lo mismo topología, y por lo tanto tienen diferentes subconjuntos cerrados y abiertos.

En su ejemplo concreto, por ejemplo, mientras $[1,9]$ no es obviamente un subconjunto abierto de $X$ , es es un subconjunto abierto de $Y$ (porque es todo el espacio). Por lo tanto, $Int_X(Y)$ es de hecho $(1,9)$ pero $Int_Y(Y)$ es $[1,9]$ . Construir un ejemplo en el que los cierres sean diferentes también es posible, y no es demasiado difícil.

Answer 2

Como ya se ha explicado, $\operatorname{Cl}_Y$ y $\operatorname{Int}_Y$ son sólo el cierre y el interior con respecto a la topología del subespacio $\{U \cap Y : U \text{ open in } X\}$ en $Y$ .

Estas fórmulas pueden resultarle útiles:

$$\operatorname{Cl}_Y (A) = \operatorname{Cl}_X(A) \cap Y$$ $$\operatorname{Int}_Y (A) = \operatorname{Int}_X(A \cup( X \setminus Y)) \cap Y$$

Sí, es cierto, $F$ está cerrado en $Y$ si y sólo si existe $G$ cerrado en $X$ tal que $F = G \cap Y$ . Claramente $A \subseteq F \iff A\subseteq G$ .

$$\operatorname{Cl}_Y (A) = \bigcap_{A \subseteq F, F \text{ closed in } Y} F = \bigcap_{A \subseteq G, G \text{ closed in } X} (G \cap Y) = \left(\bigcap_{A \subseteq G, G \text{ closed in } X} G\right)\cap Y = \operatorname{Cl}_X(A) \cap Y$$

De la misma manera, $U$ está abierto en $Y$ si y sólo si existe $V$ abrir en $X$ tal que $U = V \cap Y$ . Claramente $U \subseteq A \iff V \cap Y \subseteq A \iff V \subseteq A \cup(X \setminus Y)$ .

$$\operatorname{Int}_Y (A) = \bigcup_{U \subseteq A, U \text{ open in } Y} U = \bigcup_{V \cap Y \subseteq A, V \text{ open in } X} (V \cap Y) = \left(\bigcup_{V \subseteq A \cup (X \setminus Y), V \text{ open in } X} U\right) \cap Y\\ = \operatorname{Int}_X(A \cup( X \setminus Y)) \cap Y$$