La propiedad del haz de líneas correspondiente al mapa birracional

Question

Para una variedad, si tiene un haz de líneas libre de punto base, entonces se puede definir un morfismo de la variedad a un $\mathbb{P}^n$ . Y si una variedad es una variedad proyectiva (en el sentido de Hartshorne), es equivalente a tener un haz de líneas muy amplio.

En la misma línea, me preguntaba si existen propiedades del haz de líneas correspondientes al mapa birracional. Para ser precisos:

Sea $V$ sea una variedad, $L$ sea un haz de líneas sobre $V$ . ¿Qué condiciones son necesarias para garantizar la $map$ definido por $L$ (es decir, utilizando todas las bases de $H^0(V,L)$ )es un mapa birracional a su imagen en $\mathbb{P}^n$ ? Aquí $n=dim\ H^0(V,L)-1$ .

Answer 1

No tengo una respuesta satisfactoria. De todos modos aquí hay una.

Sea $L$ sea un haz de líneas sin punto base sobre una variedad proyectiva $V$ sobre un campo $k$ . Sea $$\pi : V \to \mathbb P(H^0(V, L))\simeq \mathbb P^n$$ sea el morfismo asociado al sistema lineal completo $|L|$ . Si elegimos una base $s_0, \dots, s_n$ de $H^0(V, L)$ entonces teóricamente $$\pi(v)=[s_0(v):\dots : s_n(v)].$$ Si $F(X_0,\dots, X_n)$ es un polinomio homogéneo de grado $m$ entonces $\pi^{-1}(D_+(F))$ es $V_f$ donde $f=F(s_0,\dots, s_n)\in H^0(V, L)^{\otimes m}$ y $$ V_f:=\{ v\in V \mid f(v)\ne 0\}.$$ El morfismo $V_f\to D_+(F)$ viene dado por $$ k[T_0, \dots, T_n]_{(F)} \to O_V(V_f), \quad P/F^r \mapsto P(s)/F(s)^r.$$

Sabemos que si $L$ es muy amplia, entonces para cualquier sección $f\in H^0(V, L)$ , $V_f$ es un subconjunto abierto afín y el homomorfismo anterior es suryectivo. Lo mismo ocurre si tomamos $f$ en $H^0(V, L)^{\otimes m}$ para cualquier $m\ge 1$ .

En general $\pi$ es birracional si y sólo si existe un subconjunto abierto denso $U$ de $\mathbb P^n$ tal que $\pi: \pi^{-1}(U) \to U$ es una inmersión cerrada (un isomorfismo de $\pi^{-1}(U)$ en $U\cap \pi(X)$ ). El complemento de $U$ está contenida en una hipersuperficie $V_+(F)$ deeree $m$ . Reducción $U$ si es necesario, podemos suponer $U=D_+(F)$ . Entonces $\pi^{-1}(U)=V_f$ donde $f=F(s)$ como arriba. La condición para $V_f\to U$ para ser una inmersión cerrada es: $V_f$ es afín y $O_V(V_f)$ se genera, como $k$ -álgebra, por $H(s)/f(s)$ donde $H$ recorre monomios de grado $m$ .

Resumiendo el debate anterior, podemos decir que $\pi$ induce un morfismo birracional de $V$ a su imagen si y sólo si existe $m\ge 1$ y $f\in H^0(V, L)^{\otimes m}$ tal que:

1. $V_f$ es afín,
2. $O_V(V_f)$ es generado por $H(s_0,\dots, s_n)/f$ donde $H$ son los monomios de grado $m$ .

Todo sigue siendo cierto si sustituimos $H^0(V, L)$ con un subespacio vectorial que genera $L$ .