Por qué $\int_0^af(x)dx=\int_0^af(a-x)dx$?

Question

Es cierto que:

\begin{equation*} \int_0^af(x)dx=\int_0^af(a-x)dx? \end{ecuación*}

Porque yo sé que:

\begin{equation*} \int_0^af(x)\,dx=F(a)-F(0)~\text{and}~\int_0^af(a-x)\,dx=F(a-a)-F(a-0)=F(0)-F(a) \end{ecuación*}

Así que me puse: $F(a)-F(0)=F(0)-F(a)$ y eso no es necesariamente cierto.

Answer 1

Establezca $x=a-u$. Para$x=0 \Rightarrow u=a$$x=a \Rightarrow u=0$.

$$dx=-du$$

Así:

$$\int_0^a f(x)dx=\int_a^0 f(a-x)(-dx)=\int_0^a f(a-x)dx$$

Answer 2

Te olvidaste la regla de la cadena: si $$ \frac d {dx} F(x) = f(x) $$ entonces $$ \frac d {dx} F(a-x) = -f (- x), \text{ no } f(a-x). $$

Answer 3

Usted puede probar tomando $y=a-x$$dy=-dx$,

$$ \int _0^a f(x)dx = \int _{a}^0f(a-y)(-dy) = \int _0^f(a-y)dy $$ Nota: su segunda declaración en la pregunta no es cierto.

Answer 4

Sugerencia: Tome $y = a - x$ $dy = -dx$ $$- \int_a^0 f(y) dy = \int_0^a f(y) dy$$

Answer 5

Deje $u=a-x$,$du=-dx$, luego $$\int_{0}^{a}f(a-x)dx=\int_{u=a}^{u=0}-f(u)du=-\int_a^0f(u)du=\int_0^af(u)du$$