Determinar el valor de la función armónica en el país de origen, dado los valores de límite en un hexágono regular

Question

Deje $E$ ser un hexágono regular centrado en el origen de $\mathbb{R}^2$. Deje $f$ ser el armónico de la función en $E$ con el límite del valor de 1 en uno de los lados de $E$ y el valor de límite $0$ en cada uno de los lados restantes. ¿Cuál es el valor de $f$ en el origen?

Esta pregunta se ha mostrado en un viejo PDE qual estoy estudiando. Este problema que me está causando mucha preocupación, porque $f$ parece ser discontinua en el límite de $E$. Pero, dado que el $f$ es armónica (y por lo tanto continua) en $E$, no el límite de los valores de $f$ también definir una función continua?

Consejos o explicaciones son muy apreciadas!

Answer 1

La solución es armónico y por lo tanto analítica en el interior de $E$ y continua hasta el límite, excepto en los puntos extremos del segmento donde es igual a 1.

Al girar los segmentos, obtendrá seis funciones de esta forma que son de rotación de las imágenes de cada uno de los otros (singularidad) y por lo tanto todos tienen el mismo valor en el origen. La adición de estas seis funciones, se obtiene una función armónica con los valores límite igual a 1, por lo tanto es 1 en todas partes.

Por lo tanto, $f(0) = 1/6$.

Esta es también la probabilidad de que un movimiento Browniano sale a través de uno de los lados del hexágono suponiendo que comienza en el origen (que se podría convertir en otra prueba).

Answer 2

Edit: por Favor, tenga en cuenta que el OP recientemente ha editado la pregunta y eliminado la parte que a mi los comentarios de abajo (a la larga a ser un solo comentario) consulte.

Armónico de las funciones tienen que ser bien educados dentro de una región donde hey están definidos, y en el hecho de que tienen que ser suave no (infinitamente diferenciable), pero el comportamiento en el límite puede ser mucho peor, y de hecho, como su pregunta implica, es muy posible tener una función, que es armónico en cada punto en el interior del hexágono, pero es discontinua en el límite de sí mismo.

Por ejemplo, usted podría considerar la medida armónica. Un buen libro sobre este tema es por Garnett: "Medida Armónica" (Cambridge), y en la página 1 se muestra que la medida armónica de un intervalo en el $x$-eje da una función armónica en la mitad superior del plano -, pero tiene los valores límite que se $\pi$ dentro del intervalo y cero en otro lugar.