Aplicación del teorema fundamental del cálculo en un paso de una prueba

Question

Estoy leyendo Elíptica de Ecuaciones Diferenciales Parciales por Han y Lin.

Yo no puedo entender a un paso de la demostración del Teorema 1.16, que debe seguir desde el Teorema Fundamental del Cálculo. Estoy seguro de que es trivial, pero yo no puede ver por qué.

Tenemos la siguiente igualdad:

\begin{equation} \int_{B_r(0)} u(y) \ \varphi_k(y, r)\ dy = 0 \end{equation} donde $B_r(0)$ es la bola de $\mathbb{R}^n$ centrada en $0$ con radio $r >0$, $u$ es una función continua definida en un conjunto abierto $\Omega$ contiene $B_r(0)$ $\varphi_k(\cdot, r)$ algunos $C^2_0(\Omega)$ función dependiendo de $r$.

Ahora queremos derivar la ecuación con respecto a $r$. Según el libro, obtenemos: \begin{align} 0 &= \frac{d}{dr}\Big(\int_{B_r(0)} u(y) \ \varphi_k(y, r)\ dy \Big) \\ &=\int_{\partial B_r(0)}u(y) \ \varphi_k(y,r) \ dS_y + \int_{B_r(0)} u(y) \ \frac{\partial \varphi_k(y, r)}{\partial r}\ dy. \end{align} donde $dS_y$ es la medida en la esfera de la $\partial B_r(0)$.

Puede usted explicar esto me paso? Muchas gracias!

Answer 1

Asumir que es necesario diferenciar w.r.t. $r$ la siguiente integral $$ I (r) = \int_ {Br} f (x, r) \, dx. $$ $$ De definir F (s, t) = \int {B_s} f (x, t) \,dx $$ $I(r)=F(r,r)$, por lo tanto, la regla de la cadena da $ I'(r)=F_s'(r,r)+F_t'(r,r). $$ Ahora observamos eso\begin{eqnarray} Fs'(s,t)&=&\frac{\partial}{\partial s}\int{B_s}f(x,t)\,dx= \frac{\partial}{\partial s}\int0^s\left(\int{\partial B\sigma}f(x,t)\,dS\sigma\right)\,dr=\int_{\partial B_s}f(x,t)\,dS_s,\ Ft'(s,t)&=&\int{B_s}\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)\,dx \end{eqnarray} que son exactamente los dos términos en la pregunta.