BRST transformación de esporon adjunto

Question

en el Yang-Mills-la Teoría con la materia campos de dirac spinor $\psi$ transforma bajo BRST como $$\psi \to \delta_\Omega\psi=i\eta\psi $$ con $\eta$ ser un fantasma campo. Si quiero conseguir la transformación de la adjoint spinor $\bar \psi$ I obtener mediante el uso de la invariancia de $\bar \psi \psi$ $$ 0=\delta_\Omega (\bar \psi\psi)=(\delta_\Omega\bar\psi)\psi - \bar\psi (\delta_\Omega\psi) \quad \Rightarrow \quad \delta_\Omega \bar\psi=i\bar\psi \eta$$ Si ahora quiero conseguir la transformación directamente, me sale $$ \delta_\Omega \psi^\dagger \gamma_0=[\psi^\dagger,\Omega]_+\gamma_0=([\psi,\Omega]_+)^\dagger \gamma_0=(i\eta\psi)^\dagger\gamma_0=-i\bar\psi\eta $$ Por lo tanto, obtener resultados diferentes. Dónde está mi error? Lo que yo no estoy seguro, es si, si he a $(\eta\psi)^\dagger$ si este es igual a $\psi^\dagger\eta$ o $-\psi^\dagger \eta$ como la transposición de la parte debe ser puramente en la dirac espacio.

Gracias de antemano.

Answer 1

El motivo de la discrepancia es que el BRST operador no es auto adjoint $\Omega^{\dagger} \ne \Omega$, Esto puede ser fácilmente visto desde su acción sobre los fantasmas:

$$\delta c^{a} = \epsilon \{\Omega, c^a\} = i \epsilon f^{a}_{bc} c^b c^c$$

$$\delta \bar{c}^{a} = \epsilon \{\Omega, \bar{c}^a\} = - i \epsilon b^a$$

$$\delta b^{a} = \epsilon \{\Omega, b^a\} = 0$$

(Es claro que estas ecuaciones no pueden ser obtenidos por simple Hermitian conjugación).

Además, el operador $\Delta = \{ \Omega, \Omega^{\dagger}\}$ juega un papel importante en la BRST teoría, por favor véase, por ejemplo, Aspectos de BRST de cuantización por J. W. van Holten. El cero de los modos de la BRST Laplaciano puede ser elegido como base para los estados físicos.

Favor de observar que en el (física) fermión sector, el BRST organizador no es auto adjunto, debido a que tanto sus acciones en el spinor y su Dirac adjuntos son proporcionales al espíritu y no a su conjugado (que sólo aparece en el fantasma cinética plazo.

También, por favor note que ambas acciones no contienen la unidad imaginaria ($ i = \sqrt{-1}$), ya que la transformación debe preservar la realidad de la Lagrangiana ($\epsilon$ es un verdadero Grassmann variable).

$$\delta \psi^i = \epsilon \{\Omega, \psi_i\} = \epsilon c^a (T_a)_j^i \psi^j$$

$$\delta \bar{\psi}_i = \epsilon \{\Omega, \bar{\psi}_i\} = \epsilon \bar{\psi}_j (T_a)^j_i c^a$$

Answer 2

En su caso, creo que$\eta$ está desempeñando el papel de$\epsilon$ en la respuesta de David Bar Moshe, es decir:$\eta$ es una variable real de Lorentz-escalar Grassmann. Entonces, tendrás:

ps