Por qué se k llama representador de evaluación en la definición de funciones del núcleo

Question

¿Por qué es $k$ llamado representor de evaluación? Del libro "Aprendiendo con los granos" por Bernhard Schölkopf tenemos las siguientes líneas (página 33):

$\langle k(.,x),f\rangle = f(x)$, en particular, $\langle k(.,x), k(.,x')\rangle = k(x,x')$

Según el libro esta interesante propiedad de $\phi$ sigue de la definición. Cómo?

Soy incapaz de entender esto y esto es crucial para entender el concepto de la reproducción del núcleo de Hilbert espacios. Cualquier ayuda es apreciada.

Por suerte, la parte del libro que necesita ser referido es decir, la sección 2.2.2 (comienza en la página 32) es una parte de la vista previa en Google libros. También tenga en cuenta que esta sección es independiente de otras secciones.

Answer 1

En un RKHS marco, cualquier función de $f(\cdot)$ puede ser minimizado con una hilbert-norma minimizar la solución, solo por una combinación lineal de los granos evaluados en el resto de los puntos de datos y $x$ sí.

yo.e, en detalle, si no sabes el resultado de la función $f's$ Hilbert-norma minimizar minimizer, todo lo que usted necesita hacer en una reproducción del núcleo espacio de Hilbert, (RKHS) es que se tome la reproducción p.s.d kernel $K(\cdot,\cdot)$ que es una función de dos argumentos (pares), donde en un argumento de corregir $x$; el punto donde se desea evaluar $f(\cdot)$ tal que $x$ es el minimizer y, a continuación, en el otro argumento que usted elija cada uno de los puntos en los que aparte de $x$ que tiene en el conjunto de datos, como $K(x,\cdot)$ y, a continuación, el "Representante Teorema" asegura que existe un conjunto de $\alpha's$ que vaya a lo largo de con $K(x,\cdot)$ de manera tal que el resultado $f(x)$ "puede ser" representado/${evaluated}/admits$ la siguiente propiedad: $f(x)=\sum{K(x,\cdot)}$ donde el marcador de posición $\cdot$ toma el resto de los puntos de datos y la suma es más de cada uno de esos puntos.

Answer 2

Cuando se dice que "se sigue directamente de la definición", significa directamente de la definición de $\langle -,- \rangle$, no directamente de la definición de $\Phi$. Ecuación 2.24 en la página 33 es una definición (por eso se utiliza la := notación en lugar de un signo de igual.) La definición dice que si $f = \sum_i \alpha_i k(.,x_i)$ $g = \sum_j \beta_j k(.,y_j)$ $\langle f,g\rangle$ está definido para ser $\sum_{i,j} \alpha_i \beta_j k(x_i, y_j)$. En particular, si $f=k(.,x)$$g=k(.,x')$, a continuación, la definición en la Ecuación 2.24 dice que $$\langle f, g \rangle = k(x,x')$$ (piense en un $\alpha_i$ e una $\beta_j$ $1$ y el resto a $0$). Esta es la Ecuación 2.30.

Ecuación 2.29 es similar, pero más general. Supongamos que tenemos algunos $f = \sum_j \beta_j k(.,x_j)$. Entonces $$\langle k(,.x), f \rangle = \langle k(.,x), \sum\beta_j k(.,x_j) \rangle$$ y de nuevo la Definición de 2.24 dice que esto es igual a $$\sum \beta_j k(x, x_j)$$ por definición. Pero esto es sólo $f(x)$, lo que le da (2.29).