Realización de $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ como un grupo de isometría

Question

Cada grupo finito surge como el grupo de isometría de un subespacio de un espacio euclídeo (Albertsona, Boutin, Realización de Grupos Finitos en el Espacio Euclidiano). ¿Cuáles son naturales ejemplos de espacios de realización de los grupos

• $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
• $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?

Para $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ podemos simplemente tomar una regular $n$-gon, cuyos bordes se extienden en una dirección consistente, de modo que las reflexiones son excluidos. Pero esto no es realmente un espacio que aparece de forma natural. También lo acerca a $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$? Los ejemplos más, mejor.

Answer 1

En $\mathbb R^4$ recogida regular $n$-ágonos alrededor de $0$ uno en el $(x,y,0,0)$ plano, y el otro en el $(0,0,z,w)$ plano. Así que, esencialmente, las isometrías de uno no afecta a los demás.

Un "natural" del espacio con $\mathbb Z/n\mathbb Z$ simetría es una pirámide con base regular $n$-gon[*].

En general, si hay espacios, $U\subseteq \mathbb R^n$ $V\subseteq R^m$ que no son isométricos para cada uno de los otros, con $0\not\in U,V$, con isometría grupos $G$$H$, respectivamente, a continuación, $U\times 0\cup 0\times V\subset \mathbb R^{n+m}$ tendrá isometría grupo $G\times H$. Este espacio no va a ser conectado. (Usted puede tener $0\in U,V$ si las isometrías de $U,V$ fix $0$ - para el ejemplo anterior, usted puede tomar la cúspide de la pirámide como $0$ ya que es fijado por todas las isometrías.)

(Usted podría ser capaz de utilizar $U\times V$, pero siento que hay algunos adicionales isometrías...)

En el caso de $\mathbb Z/n\mathbb Z\times\mathbb Z/n\mathbb Z$, es difícil hacer mucho mejor que el del producto, debido a la "natural" de las representaciones de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ debe ser rotaciones, pero rotaciones tienden a no conmuta con cada uno de los otros.

Si $G$ actos fielmente en un conjunto $X$ $m$ elementos, $G$ es un subgrupo del grupo de isometrías de la regular $m-1$-simplex. Usted probablemente puede eliminar sistemáticamente las cosas desde que establecer para asegurar que el espacio resultante tiene exactamente $G$ como el grupo de isometrías.

En particular, $G$ actúa sobre sí mismo fielmente.

[*] Cuando se $n=3$, usted tiene que escoger una pirámide que no es un tetraedro regular, o usted conseguirá más isometrías, por supuesto.

Answer 2

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es el grupo fundamental de las 3 dimensiones de la Lente espacio de $L(n,1)$. No es un universal que cubre mapa de $S^3 \mapsto L(n,1)$ y un mazo de transformación de la acción del grupo $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ sobre el espacio $S^3$ que actúa por isometrías de la norma métrica en $S^3$. Este desciende a una métrica en $L(n,1)$ que es localmente isométrica a la norma métrica en $S^3$. Por supuesto, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ no es toda isometría grupo de $S^3$, que sería la Mentira de grupo $O(4)$.

Ahora, dependiendo de lo que quieres decir por "natural", hacer un poco de perturbación de la métrica en la $L(n,1)$.

Tal vez lo deje en el sol por un par de horas, que es un bonito entorno natural.

Levante el perturbado métrica para la universalización de la cobertura $S^3$. Ahora la cubierta de la transformación del grupo de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es el total de isometría grupo de $S^3$ con respecto a este perturbado métrica.

Usted puede hacer una construcción similar para cualquier grupo de $G$ y cualquier CW complejo de $X$ con grupo fundamental de la $G$. Lo bonito de la métrica en $X$ que empezar, algunos razonablemente agradable naturales de perturbación producirá una acción de $G$ en la cobertura universal de $X$ que es el total de isometría grupo. A partir de una topologists punto de vista, la "mayoría natural" ejemplo de $X$ $K(G,1)$ espacio, y la "mayoría natural" acción de $G$ sería la cubierta de transformación de la acción en el universal cubrir el espacio de un $K(G,1)$.

Así que desde que topológico punto de vista, la "mayoría natural" acción de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es su cubierta de transformación de la acción en $S^\infty$ con el cociente de las infinitas dimensiones de la Lente espacio de tipo $(n,1)$, que es un $K(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},1)$ espacio. Aún se debe perturbar la métrica en esta situación, con el fin de organizar ese $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ del total del grupo de isometrías.