Transformada de Fourier

Question

Considere la posibilidad de la verdadera función con valores de $f(x):=\cos{(x^2)}$. ¿Cómo podemos calcular su transformada de Fourier?

En otras palabras, tengo que calcular $$ \hat{f}(\omega):=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}\cos{(x^2)}e^{-i\omega x}dx. $$ Alguna idea? Yo sinceramente estoy atascado... traté de calcular $$ \int_{\mathbb R}e^{ix^2-ikx}dx $$ con el fin de obtener las transformadas de Fourier de ambos $\cos x^2$$\sin x^2$, pero no sé cómo empezar. Mathematica dice que la transformada de Fourier de $f$ tiene esta simple expresión: $$ \frac{1}{2} \left[\cos\left(\frac{\omega^2}{4}\right)+\sin\left(\frac{\omega^2}{4}\right)\right] $$ Gracias de antemano.

Answer 1

Que casi terminado. Usted sólo tiene que completar el cuadrado en el término exponencial y usar un integral Gaussian $$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2-ikx}dx=e^{\frac {(-ik) ^ 2} {4i}} \sqrt {\frac {\pi} {-i}} = e ^ {\frac {-ik ^ 2} {4}} \sqrt {i\pi} $$