$T$ está acotado para todo $\beta > -d$ .
La estrategia consiste en demostrar que $T$ está acotada como función $L^1(d\mu) \rightarrow L^1(d\mu)$ y en función de $L^\infty \rightarrow L^\infty$ el teorema de Riesz-Thorin muestra entonces que está acotado $L^p(d\mu) \rightarrow L^p(d\mu)$ para cualquier $p$ .
Sólo necesitamos el siguiente presupuesto; todo lo demás es estándar.
Lema : Arreglar $\beta$ con $-d < \beta < 0$ . Entonces
$$\int \lvert u - v \rvert^\beta d\mu(v) \leq C < \infty$$
donde el límite $C$ es independiente de $u$ .
Prueba : Dejemos que $F(u) = \int \lvert u - v \rvert^\beta d\mu(v)$ .
Desde $\beta < 0$ tenemos $\lvert u - v \rvert^\beta \leq 1 + \mathbf 1_{B_1(u)} \lvert u-v\rvert^\beta$ , donde $\mathbf 1_{B_1(u)}$ es la función indicadora de la bola de radio 1 alrededor de $u$ . Así,
$$F(u) \leq \int_{\mathbb R^d} d\mu(v) + \int_{B_1(u)} \lvert u-v\rvert^\beta e^{-\lvert v\rvert^2} dv\text.$$
El primer término es claramente independiente de $u$ . El segundo término está acotado por $\int_{B_1(u)} \lvert u-v\rvert^\beta dv$ que es finito porque $\beta > -d$ y no depende de $u$ . Esto demuestra que $F(u)$ está acotado, y termina la prueba.
El lema muestra inmediatamente que $T$ está acotado como un operador $L^\infty \rightarrow L^\infty$ con la norma del operador a lo sumo $C$ .
Utilizando el teorema de Fubini, tenemos
\begin{align} \|T[f]\|_{L^1(d\mu)} &\leq \int \int \lvert u-v \rvert^\beta \lvert f(v) \rvert d\mu(v) d\mu(u) \\ &= \int \int \lvert u-v \rvert^\beta d\mu(u) \lvert f(v) \rvert d\mu(v) \\ &\leq C \int \lvert f(v) \rvert d\mu(v) \\ &= C \|f\|_{L^1(d\mu)}\text, \end{align}
así que $T$ también está acotado $L^1(d\mu) \rightarrow L^1(d\mu)$ .
El Teorema de Riesz-Thorin muestra entonces que $T$ está acotado $L^p(d\mu) \rightarrow L^p(d\mu)$ para cualquier $p$ con $1\leq p \leq \infty$ en particular para $p = 2$ .
