El conjunto del problema es totalmente correcta con sólo una observación: puede establecer f′(x)≥0 to have f(x) increasing and maybe also strictly increasing since the the set on which f′(x)=0 para "funciones" como el dado no contiene intervalos.
Puede referirse también a esta otra respuesta para un comentario detallado sobre este último hecho.
Para una primera estimación de la gama note que para
3x2+2kx+5≥4
la condición se satisface, por lo tanto, desde aquí se puede encontrar un primer rango de k∈[−√3,√3], de hecho
3x2+2kx+1≥0⟺Δ=4k2−12≤0
Para mejorar el resultado nos puede tratar de encontrar el mínimo de f′(x) y se establece a 0, que es
f″
y
f'(x_k)=0