Dominio del k $f(x)=x^3+kx^2+5x+4\sin^2x$

Question

La pregunta dice:

Que $f(x)=x^3+kx^2+5x+4\sin^2x$ sea una función creciente en $x \in R$. ¿Dominio de k es?

Esto es lo que he probado:

He intentado diferenciar que la expresión pero $f'(x)$ no resulta para ser una cuadrática (ya que tiene ese término de $\sin2x$) $$f'(x)=3x^2+2kx+5+4\sin2x>0$ $

Así que ¿cómo voy a resolver esta cuestión?

Answer 1

El conjunto del problema es totalmente correcta con sólo una observación: puede establecer $$f'(x)\ge0$$ to have $f(x)$ increasing and maybe also strictly increasing since the the set on which $f'(x)=0$ para "funciones" como el dado no contiene intervalos.

Puede referirse también a esta otra respuesta para un comentario detallado sobre este último hecho.

Para una primera estimación de la gama note que para

$$3x^2+2kx+5\ge4$$

la condición se satisface, por lo tanto, desde aquí se puede encontrar un primer rango de $k\in[-\sqrt 3,\sqrt 3]$, de hecho

$$3x^2+2kx+1\ge0 \iff \Delta=4k^2-12\le 0$$

Para mejorar el resultado nos puede tratar de encontrar el mínimo de $f'(x)$ y se establece a $0$, que es

$$f''(x)=6x+2k+8\cos2x=0 \implies x=x_k$$

y

$$f'(x_k)=0$$

Answer 2

De $f '(x)=3x^2+2kx+5+4\sin2x$, intentar resolver $f'(x)=0$, así %#% $ #% si no puede resolver $$k=\frac{-3x^2-5-4\sin2x}{2x}$, entonces el $f'(x)=0$ va en aumento, por lo que el dominio de $f(x)$ es todo fuera del alcance de esa función.