¿Una forma alternativa de integrar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas?

Question

Estoy revisando mi libro de cálculo y traté de evaluar

$$A = \int_{-1}^{+1} {x^2 - {2 \over {x^2 + 1}}} \space dx \tag1$$

por mi cuenta, ya que olvidé que $\int{1 \over x^2 + 1} = \tan^{-1}(x) + c$ . Sin embargo, me pregunto por qué no obtuve el mismo resultado al hacer el camino inverso (utilizando la sustitución de $x^2 + 1$ ).

$$A = \int_{-1}^{+1} {x^2} dx - 2\int_{-1}^{+1}{1 \over {x^2 + 1}} dx \tag2$$ Elección de $u = x^2 +1$ y $du = 2x\space dx$ , he convertido lo anterior en $$A = \Bigg[\space {x^3 \over 3} \space\Bigg]_{-1}^{+1} - 2\int_{2}^{2}{1 \over u} {1 \over {2x}}du \tag3$$ y porque $2 = 2$ , $A$ se convierte en $$A = {2 \over 3}\tag4$$

Si lo hago $$A = {2 \over 3} + -2\Bigg[\space \tan^{-1}(x) \space\Bigg]_{-1}^{+1} = {2 \over 3} -\pi/2 - \pi/2 = {2 \over 3} - \pi\tag5$$

La respuesta en mi libro es ${2\over3} - \pi$ también. Debo tener $M$ pero no sé qué y dónde.

¿Habrá algunas ideas?

Answer 1

Su $u$ -sub está apagado. Si $u = x^2+1$ entonces $du = 2x\text{d}x$ . Pero no hay $2x$ en su integral, por lo que tendrá que resolver para $x$ utilizando $u$ . Obtendrá $x = \sqrt{u-1}$ , lo que significa $2\text{d}x = \frac{\text{d}u}{\sqrt{u-1}}$ y $$\int_{-1}^1 \frac{2}{x^2 + 1}\space \text{d}x = \int \frac{1}{u\sqrt{u-1}}\text{d}u$$ Esta integral en términos de $u$ tampoco es tan fácil de integrar.

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En cambio, yo empezaría con $\int_{-1}^1 \frac{2}{x^2 + 1}\space \text{d}x$ y usar trig-sub. Imagina un triángulo rectángulo con un ángulo $\theta$ , longitud de la pierna opuesta $x$ y la longitud del tramo adyacente de $1$ . Entonces la hipotenusa de este triángulo tendrá la longitud $\sqrt{x^2+1}$ , lo que significa:

$$\sec^2(\theta) =x^2+1 \\ \tan(\theta) = x \\ \sec^2(\theta)d\theta = dx$$ y si se introduce todo esto se obtiene $$ \int_{-1}^1 \frac{2}{x^2 + 1}\space \text{d}x = 2\int_{/}^/ \frac{1}{\sec^2(\theta)}\cdot \sec^2(\theta)d\theta =2\int_{/}^/ d\theta =2\Bigg[\theta +C\Bigg]_{/}^/$$ de la ecuación $\tan(\theta) = x$ entonces sabemos $\theta = \arctan(x)$ Así que $$2\Bigg[\theta +C\Bigg]_{/}^/ = 2\Bigg[\arctan(x)+C\Bigg]_{-1}^1$$ que da el resultado esperado.

Answer 2

Sugerencia : En el paso $(3)$ la segunda integral debe ser -

$\int _\limits{2}^{2} \frac{du}{2u\sqrt{u-1}}$

Ahora bien, observe que como $x$ varía de $-1$ a $0$ seguido de $0$ a $1$ entonces $u$ varía de $2$ a $1$ y luego de $1$ a $2$ respectivamente. Cuando $x=0$ , $u=1$ , para lo cual el integrando obtenido tras su sustitución, $u=x^{2}+1$ no está definido. Por lo tanto, tendrás que dividir esta integral en dos partes para obtener el resultado correcto.