¿Cómo se puede demostrar que $l_p \subset l_q$$p \leq q$?

Question

Me parece que no puede trabajar fuera de la desigualdad de $(\sum |x_n|^q)^{1/q} \leq (\sum |x_n|^p)^{1/p}$ $p \leq q$ (que supongo que es la manera de ir sobre ella).

Answer 1

Tienes razón @user1736.

Si $a\leq1$ $$\left(\sum |a_n|\right)^a\leq \sum|a_n|^a.\tag{1}$$

Por lo tanto, si $p\leq q$ tenemos $p/q\leq1$ $$\left(\sum_n |x_n|^q\right)^{1/q}=\left(\sum_n |x_n|^q\right)^{p/qp}\leq \left(\sum_n |x_n|^{q(p/q)}\right)^{1/p}=\left(\sum|x_n|^p\right)^{1/p}$$

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Edit: ¿Cómo podemos demostrar (1) (en $0<a<1$)?

Paso 1. Es suficiente para probar esto para secuencias finitas porque entonces podemos tomar límites.

Paso 2. Para demostrar la declaración de las secuencias finitas es suficiente para demostrar $$(x+y)^a\leq x^a+ y^a,\quad\text{ for $x,y>0$}\tag{2}$$ porque el caso finito es sólo iteraciones de (2).

Paso 3. Para probar que (2) es suficiente para probar $$(1+t)^a\leq 1+t^a,\quad\text{ where $0<t<1$} \tag{3}$$

Ahora, la derivada de la función $f(t)=1+t^a-(1+t)^a$ está dado por $f'(t) = a(t^{a-1} - (1+t)^{a-1})$ y que es positiva, ya $a>0$ $t\mapsto t^b$ está disminuyendo por la negativa $b$. Por lo tanto, $f(t)\geq f(0)=0$$0<t<1$, lo que demuestra (3).

Answer 2

No creo que usted necesita para demostrar la desigualdad tiene en la pregunta; que es un poco demasiado fuerte. Tenga en cuenta que $\{x_n\}\in\ell_p$ si y sólo si $\left(\sum|x_n|^p\right)^{1/p}$ es finito si y sólo si $\sum|x_n|^p\lt\infty$. Así que usted realmente sólo necesita mostrar que si $\sum|x_n|^p$ es finito, entonces $\sum|x_n|^q$ es finito, asumiendo $p\leq q$.

Te quiero recordar dos cosas:

1. si $p\leq q$,$|x|>1$$|x|^p\leq|x|^q$, pero si $|x|<1$,$|x|^p \geq |x|^q$.
2. $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge si y sólo si para cada $m\geq 1$, $\sum_{n=m}^{\infty}a_n$ converge.