Ejemplos donde $H\ne \mathrm{Aut}(E/E^H)$

Question

Si $E/F$ es una extensión de campo, y $H$ es un subgrupo de $\mathrm{Aut}(E/F)$, es bastante trivial ver que $H\subset \mathrm{Aut}(E/E^H)$.

Desde el teorema sólo muestra la inclusión de la relación, creo que debe haber un montón de ejemplos en los que $\subset$ se $\subsetneq$. Pero debido a la falta de conocimiento que no puede venir para arriba con uno.

Me podrían ayudar con esto? Saludos.

Answer 1

Si $H$ es finito, siempre tenemos la igualdad. Ver estas notas por Noam Elkies.

Hay contraejemplos, al $H$ es infinito.

Si permitimos que un trascendental extensión, a continuación, el siguiente ejemplo es fácil de entender. Deje $E=\Bbb{Q}(x)$ a ser el campo de fracciones de la polinomio anillo de $\Bbb{Q}[x]$. Deje $\sigma$ ser el automorphism conseguido mediante la ampliación de $x\mapsto x+1$ en la forma obvia, y deje $H=\langle\sigma\rangle$ ser el infinito cíclico grupo. Entonces no es difícil demostrar (para una discusión ver una primera respuesta de la mina) que $E^H=\Bbb{Q}$. Pero $E$ tiene muchas otras $\Bbb{Q}$-automorfismos. Todos ellos son de la forma $$ x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d} $$ con $ad-bc\neq0$ (= cociente grupo de invertible 2x2 matrices escalares por matrices).

Si desea un ejemplo de una expresión algebraica de la extensión, entonces, es un poco más complicado. Deje $E$ ser el algebraicas cierre de $\Bbb{F}_p$, y deje $H$ el grupo de automorfismos generados por la asignación de Frobenius $F:z\mapsto z^p$. Porque un grado $p$ polinomio puede tener en la mayoría de $p$ puntos fijos vemos que $E^H=\Bbb{F}_p$. Pero $H$ no $Aut(E/\Bbb{F}_p)$. La receta para todos los $\Bbb{F}_p$-automorfismos de a $E$ se describe en esta respuesta por Ted. Aquí $H$ es sólo una densa subgrupo de $Aut(E/\Bbb{F}_p)$ (w.r.t. los Krull topología). Usted necesita leer un poco acerca de la teoría de Galois de infinitas extensiones algebraicas para el uso de los conceptos topológicos para hacer sentido aquí.