Supongamos $\alpha$ $\beta$ son ordinales. Me pidió que demostrar que $\lvert\alpha+\beta\rvert=\lvert\alpha\rvert+\lvert\beta\rvert$. Sin embargo, creo haber encontrado un contraejemplo para esta igualdad, es decir, si $\alpha=\omega$ $\beta=1$ $$\lvert\alpha+\beta\rvert=\lvert\omega+1\rvert=\lvert\omega\rvert=\omega\neq\omega+1=\lvert\alpha\rvert+\lvert\beta\rvert.$$ Estoy haciendo algo mal o hay un error en el ejercicio?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como he mencionado en los comentarios, que son confusas números ordinales y cardinales. Este es un error muy común, y es importante aclararlo.
Permítanme añadir el subíndice $c$ cuando hablamos de los números ordinales y subíndice $o$ cuando hablamos de los números ordinales. Luego tenemos a $\alpha=\omega_o,\beta=1_o$. Entonces tu argumento es $$|\alpha+\beta|=|\omega_o+1_o|=|\omega_o|=\omega_c\neq\omega_c+1_c=|\omega_o|+|1_o|=|\alpha|+|\beta|$$
Ahora es fácil ver cuando el error es en el mundo de los números cardinales, igualdad de $\omega_c=\omega_c+1_c$ no espera. Esta es la razón por la que su contraejemplo no es válido.
Edit: Como Noé señala que la forma alternativa de ver esto es para nota de que las dos formas en las que se utiliza $+$ son diferentes - una vez que se trata de una operación de ordinal suma, el otro es el cardenal suma.
Como Asaf menciona, la manera más segura es la de representar los cardenales uso de aleph (notación que se ha convertido en casi un estándar en la teoría de conjuntos), y deje $\omega$ a solo denotan los números ordinales.
