Endomorfismos suryectivos de módulos uniseriados

Question

Por favor, ayúdenme a demostrar el siguiente resultado:

Sea $R$ sea un anillo con $1$ y $M$ una izquierda uniserial $R-$ y $\alpha,\beta\in End_R(M)$ .

$\alpha\beta$ es suryectiva si y sólo si $\alpha$ y $\beta$ son suryectivas

Esto es lo que escribí:

La implicación si ambos $\alpha$ y $\beta$ son suryectivas, entonces $\alpha\beta$ es suryectiva es evidente ya que la composición de dos funciones suryectivas es suryectiva:

Sea $\alpha:M \to M$ y $\beta:M \to M$ sean funciones suryectivas.

Queremos demostrar que $\alpha\circ \beta:M \to M$ también es suryectiva.

Ahora bien, sabemos que por cada $c \in M$ hay un $b \in M$ tal que $c = \alpha(b)$ por surjetividad de $\alpha$ . Y sabemos que por esa misma $b$ existe un $a \in M$ tal que $b=\beta(a)$ por surjetividad de $\beta$ .

Así que lo que hemos demostrado es que para cada $c \in M$ hay un $a \in M$ tal que $c=\alpha(\beta(a))=\alpha \circ \beta(a)$ es decir, $\alpha \circ \beta$ es suryectiva.

Para la otra implicación supongamos que $\alpha\beta$ es suryectiva. Sea $a\in M$ por subjetividad de $\alpha\beta$ existe $b\in M$ tal que $\alpha\beta(b)=a$ por lo que existe $c=\beta(b)\in M$ tal que $\alpha(c)=a$ entonces $\alpha$ es suryectiva

Pero no soy capaz de probar que $\beta$ también es suryectiva. Por favor, ayúdenme a hacerlo. Gracias de antemano.

Answer 1

La clave está en utilizar la condición uniserial de esta manera: puesto que $M$ es uniserial, o bien $\ker(\alpha)\subseteq Im(\beta)$ ou $Im(\beta)\subseteq \ker(\alpha)$ . Este último caso es obviamente imposible cuando $M$ es distinto de cero y $\alpha\beta$ es suryectiva.

Supongamos $x\notin Im(\beta)$ .

Como ya ha visto, existe $b\in M$ tal que $\alpha(\beta(b))=\alpha(x)$ .

Es decir $\beta(b)-x\in \ker(\alpha)$ .

Así que $\beta(b)-x\in\ker(\alpha)\subseteq Im(\beta)$ . Pero esto implica $x\in Im(\beta)$ una contradicción.

Por lo tanto $\beta$ debe ser suryectiva.