En Mumford 'Abelian Variedades", él dice que por un buen espacio topológico $X$, tenemos un isomorfismo $H^1(X,\mathbb{Z}) \cong \operatorname{Hom}(\pi_1(X),\mathbb{Z})$. ¿Qué quiere una "buena topológica del espacio' y qué tiene este isomorfismo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Voy a elaborar sobre A. Rod de comentario. De hecho, se puede demostrar que para cualquier grupo abelian $G$, y la ruta de acceso conectado espacio de $X$, $$H^1(X;G)\cong \operatorname{Hom}(\pi_1(X,x_0),G).$$ En primer lugar, por la universal coeficiente de teorema, hay una secuencia exacta $$0\xrightarrow{\ \ \ }\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1(H_0(X),G)\xrightarrow{\ \ \ }H^1(X;G)\xrightarrow{\ \tau \ }\operatorname{Hom}(H_1(X),G)\xrightarrow{\ \ \ }0.$$ Desde $X$ es la ruta de acceso conectado, $H_0(X)\cong\mathbb{Z}$, y por lo tanto $$\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1(H_0(X),G) \cong \operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z},G) = 0.$$ Por lo tanto, por la exactitud tenemos un isomorfismo $$H^1(X;G)\cong \operatorname{Hom}(H_1(X),G).$$ Como A. Rod explicó, desde la $X$ es la ruta de acceso conectado, hay otro isomorfismo proporcionada por el teorema de Hurewicz: $$\bar{h}:\pi_1(X,x_0)^{ab}:= \frac{\pi_1(x,x_0)}{[\pi_1(X,x_0),\pi_1(X,x_0)]}\xrightarrow{\ \cong\ } H_1(X).$$ Ahora, es el recuerdo de la universal de los bienes que abelianization satisface:
Deje $A$ $B$ ser alguno de los grupos, con $B$ abelian. Entonces, cualquier mapa de $\varphi:A\to B$ factores de forma exclusiva a través de un mapa de $\bar{\varphi}:A/[A,A]\to B$ tal que $$\varphi = \bar{\varphi}\circ\pi$$ donde $\pi:A\to A/[A,A]$ es el habitual de proyección (así que esto es realmente sólo la característica universal de cocientes).
La anterior es una forma elegante de decir que el pre-composición con $\pi$ da un isomorfismo de abelian grupos: $$-\circ\pi:\operatorname{Hom}\left(\frac{A}{[A,A]},B\right)\xrightarrow{\ \cong \ }\operatorname{Hom}(A,B)$$ Por lo tanto, tenemos una cadena de isomorphisms: $$H^1(X;G)\xrightarrow{\ \tau \ }\operatorname{Hom}(H_1(X),G)\xrightarrow{\ -\circ\bar{h} \ }\operatorname{Hom}(\pi_1(X,x_0)^{ab},G)\xrightarrow{\ -\circ\pi \ }\operatorname{Hom}(\pi_1(X,x_0),G).$$ El mapa de $\tau$ envía un cocycle $[c:C_1(X)\to G]$ a la inducida por el mapa de la restricción: $$\tau[c:C_1(X)\to G] = \overline{c|_{Z_1(X)}}:H_1(X)\to G,$$ y el Hurewicz mapa de $\bar{h}\circ\pi = h:\pi_1(X,x_0)\to H_1(X)$ envía un homotopy clase $\langle\omega\rangle$ a su correspondiente clase de homología $[\omega]$. Por lo tanto, la cadena de isomorphisms toma un cocycle $[c:C_1(X)\to G]$ y la envía a la mapa $$\overline{c|_{Z_1(X)}}\circ h:\pi_1(X,x_0)\to G.$$