Estoy atascado en el siguiente problema : supongamos $V$ ser un verdadero espacio vectorial, no necesariamente finito-dimensional y deje $\mathrm{End}(V)$ ser el espacio de endomorphisms de $V$. Para $u \in \mathrm{End}(V)$, vamos a $N(u)$ el conjunto de null polinomios de $u$ : $$ N(u) = \lbrace P \in \mathbb{R}[X], \; P(u) = 0 \rbrace. $$ El problema se expresa de la siguiente manera :
Deje $f,g \in \mathrm{End}(V)$ tal que $f \circ g = g \circ f$, $N(f) \neq \lbrace 0 \rbrace$ y $N(g) \neq \lbrace 0 \rbrace$.
Mostrar que $N(f+g) \neq \lbrace 0 \rbrace$$N(f \circ g) \neq \lbrace 0 \rbrace$.
Dado que el $f \circ g = g \circ f$, se pueden calcular las potencias de $f+g$ usando el teorema del Binomio. Yo creo que esto debe ayudar a alguna parte, pero no tengo muchas ideas en cuanto a este problema. Una ingenua idea sería considerar la posibilidad de un polinomio $S = \sum_{k=0}^{N} a_k X^k \in \mathbb{R}[X]$, calcula el $S(f+g)$ usando el teorema del Binomio, y tratar de determinar los coeficientes $(a_0,\ldots,a_N)$ con algunas condiciones. Sin embargo, esta idea no me la medida.
