¿Por qué es cierto que $\int_0^\infty \sin(qx) dx = 1/q$.

Question

En la Mecánica Cuántica, la clase, el profesor señaló un cálculo de Zetilli del libro de texto sobre Mecánica Cuántica (página 630).

Allí se dice que:

$$\int_0^\infty \sin(qx) dx = \lim_{\lambda \to 0} \int_0^\infty e^{-\lambda x} \sin(qx) dx$$

Luego, escribe la $\sin$ exponenciales complejas y se llega al resultado de que la integral es $1/q$. QUÉ? Me enseñaron en mi curso de cálculo que esta integral no converge. Para mí este resultado es totalmente malo, y yo no lo entiendo en absoluto. Yo aún no veo por qué el límite puede ser impuesta como eso. Alguna idea sobre este "truco"?

Answer 1

Creo que esto se llama reducción dimensional, exponencial de regularización, o de laplace (transformar) la regularización. La integral no converge en ningún sentido clásico, sino que estamos definiendo es a través de ese exponencial de regularización. Esta es una técnica bastante común (truco?) en la física, donde las integrales tienden a divergir sin tales consideraciones. La idea es que la integral exponencial con el que define a una analítica de la función de $\lambda>0$ y puede ser "ampliado" a $\lambda\rightarrow 0$.

Esto no es del todo injustificado porque rara vez las cantidades físicas oscilar como tal hasta el infinito. Por ejemplo, en un campo electromagnético de la cavidad, aunque suponemos una secuencia infinita de modos de existir, sus energías sería ridículo, así que tiene que haber algún tipo de corte o de regularización. Las integrales de Feynman son conocidos por este tipo de divergencia (ultraviot y de infrarrojos divergenve especialmente), así que por eso hay un montón de técnicas regularización para asignar valores sensatos.