Algebraico de la superficie con una infinidad de curvas excepcionales

Question

Estoy aprendiendo acerca de la clasificación de Las Superficies Algebraicas (de hecho, Compacto Superficies Complejas) y estoy preocupado con el siguiente punto.

Si he entendido correctamente la superficie de cada $X$ admite (no necesariamente único) modelo de un mínimo de $X_{min}$, que es una superficie sin la excepcional curvas (racional de la curva con sel-intersección $-1$). Furhtermore $X$ se obtiene a partir de a $X_{min}$ después de un número finito de blow-ups.

Por otro lado, he leído que hay ejemplos de superficies con infinidad de excepcional curvas. Mi pregunta es ¿cómo podemos obtener un $X$ $X_{min}$ después de un número finito de blow-ups? Puede un solo golpe (o de un número finito de ellos) añadir un número infinito de excepcional curvas?

Otra forma de expresar esto es la siguiente: dado $X$ con infinidad de excepcional curvas de cómo podemos obtener un $X_{min}$ realizando sólo un número finito de contracciones/golpe-downs.

Gracias de antemano por sus respuestas!

Answer 1

La solución de la paradoja es que simultáneamente puede volar $k$ puntos y obtener más de $k$ excepcional de la curva.

El ejemplo más sencillo es obtener simplemente la voladura de dos puntos de $P_1,P_2$ en el avión $\mathbb P^2$.
El soplado de la superficie, $X=\tilde {\mathbb P^2}$ contiene como excepcional curvas no sólo la inversa de imágenes $E_1,E_2$$P_1,P_2$, pero también la estricta transformar $\tilde L$ de la línea de $L=\overline {P_1P_2}$ unirse a $P_1$$P_2$:
De hecho, la auto-intersección de $L$ $+1$ y que la auto-intersección disminuye por $1$ en cada una de las $P_i$ después del golpe, por lo que el $\tilde L$ tiene auto-intersección $1-1-1=-1$.
Y desde $\tilde L$ es isomorfo a $\mathbb P^1$ es un excepcional de la curva.
Conclusión:
$X$ $3$ excepcional curvas de $E_1,E_2,\tilde L$, aunque es obtenido por la voladura sólo $2$ $\mathbb P^2$ ($\mathbb P^2$no tiene excepcional de la curva).

Si ahora simultáneamente a volar, al menos, $9$ $\mathbb P^2$ debidamente general de la posición que usted va a obtener, de forma bastante sorprendente reconozco, una superficie con una infinidad de excepcional curvas: cf. Hartshorne, Observación 5.8.1, página 418.