Como el título prácticamente resume, me pregunto ¿cuál es la mejor manera de encontrar el mínimo valor de una expresión.
Por ejemplo, tenemos la expresión $E$ se define como:$$E=x^2+4x+y^2-10y+1$$ Actualmente tengo resuelto mediante dos métodos diferentes:
- La formación de los cuadrados de los binomios
- Que se rompa en dos expresiones diferentes y encontrar el mínimo valor en función de su contexto - aclaraciones a continuación
Solución 1:
$$E=x^2+4x+y^2-10y+1$$ $$E=(x^2+4x+4)+(y^2-10y+25) - 4 - 25 + 1$$ $$E=(x+2)^2+(y-5)^2 - 28$$
Sabemos que $(x+2)^2 \geq 0$ e de $(y-5)^2\geq0$, y por lo tanto $E_{min} = -28$$x=-2$$y=5$.
Solución 2:
Deje $E_{x} = x^2+4x$$E_{y}=y^2-10y$. Por lo tanto, $E_{min}=E_{xmin}+E_{ymin}+1\tag1$
Ahora, para $E_{x}$ a ser tan pequeño como sea posible, $x\leq0$, y si es así: $$E_{x} = x^2-abs(4x)\implies abs(4x)>x\cdot x\tag2$$ $$(2)\implies 0\geq x\geq -4$$
La comprobación de todos los cuatro valores, $E_{xmin} = -4$$x=-2$. Lo mismo va para $E_{ymin}$, que se traduce en $0\geq y\geq -10$. La comprobación de todos los valores, $E_{ymin} = -25$$y=5$. $$(1)\implies E_{min}=-25-4+1\implies E_{min}=-28$$
(Por supuesto, para los valores de x,y se mencionan más arriba)
Yo, personalmente, creo que la Solución 1 es el mejor, y me pregunto si no hay otra solución posible y también que de estos se recomienda en este caso.
