Podemos "trivializar" la equivalencia entre los canónicos de la cuantización de campos y segunda cuantización de las partículas?

Question

Como Weinberg exposited en su QFT Vol1, hay dos formas equivalentes de llegar a la misma las teorías cuánticas del campo:

(1). Comience con una sola partícula de representaciones de Poincaré grupo y, a continuación, hacer un multiparticle la teoría de que, mientras que la preservación de los principios de causalidad, etc. Me gustaría llamar a este enfoque de la segunda cuantización de partículas, ya que la segunda cuantización es generalmente utilizado para enfatizar la naturaleza corporal de una teoría.

(2). Empezar con el campo de las representaciones del grupo de Poincaré, canónicamente quantize, mientras que la preservación de los principios de la causalidad, la certeza positiva de las energías etc. Me gustaría llamar a este enfoque de la cuantización de campos, así como a todos los demás llamarían.

Weinberg demostraron la prueba de la equivalencia entre estos dos enfoques con algunos, aunque no es difícil, pero vamos a decir que no son triviales, de las matemáticas. La equivalencia parece un puro milagro, o una completa coincidencia. Yo no siento que entender la equivalencia con el actual estado de la mente. Es allí una manera de restarle importancia a la equivalencia? O poniéndolo de otra manera, hay un a priori de la razón para argumentar que, dado que los dos conjuntos de puntos de partida (1)(2), tenemos que ir a la misma teoría en la final?

Solo como un comentario, muchos han sugerido que el término "segunda cuantización" debe ser totalmente de dumping, porque es realmente sólo la primera cuantización de campos. A mí, sin embargo, todavía tiene algunos efectos ya que la equivalencia no es transparente.

Answer 1

La supuesta equivalencia entre la cuantización canónica y la Fock espacio de representación es sólo un caso particular.

El formalismo canónico proporciona sólo con canónicas de los corchetes de Poisson. El primer paso según Dirac del axiomas es reemplazar los corchetes de Poisson por los conmutadores y desde estos conmutadores satisface la identidad de Jacobi, pueden ser representados por operadores lineales en un espacio de Hilbert.

Cuantización canónica no especifica el espacio de Hilbert.

Encontrar un espacio de Hilbert, donde los operadores actúa de forma lineal, y de satisfacer las relaciones de conmutación es un problema en teoría de la representación. Esta tarea se conoce como "cuantización" en la literatura moderna.

El problema es que en el caso de los campos libres, este problema no tiene una solución única (hasta un unitaria de transformación en el espacio de Hilbert). Esta situación se conoce como la existencia de no equivalentes cuantizaciones o no equivalentes representaciones. La representación de Fock es sólo un caso especial. Algunas de las cuantizaciones son llamados "no-Fock", debido a que el espacio de Hilbert no tiene subyacente a la estructura de espacio de Fock (es decir, no puede ser interpretado como partículas libres), pero puede haber incluso inquivalent Fock representaciones.

Antes de continuar, déjame decirte que no equivalentes cuantizaciones pueden ser las áreas donde la "nueva física" puede surgir debido a que puede corresponder a distintos sistemas cuánticos.

También, quiero destacar, que la situación es completamente diferente en lo finito dimensional caso. Esto es debido a que, debido a la Piedra-teorema de von Neumann, cualquier representación de la canónica de relaciones de conmutación en la mecánica cuántica es unitarily equivalente para el oscilador armónico representación. Así, la cuestión de inquivalent representaciones de la canónica de relaciones de conmutación sólo se produce debido a la dimensionalidad infinita.

Para un par de ejemplos de inquivalent cuantizaciones de la canónica de relaciones de conmutación de un campo escalar en un espacio de Minkowski-tiempo, por favor, consulte el siguiente artículo : Moschella y Schaeffer. En este artículo, construyen no equivalentes representaciones por medio de Bogoliubov transformación que cambia el vacío y también presentan un thermofield representación. En todas estas representaciones de la canónica de los operadores están representados en un espacio de Hilbert y canónica de relaciones de conmutación están satisfechos. El Bogoliubov cambiado de vacío de los casos corresponden a roto de Poincaré' simetrías. Uno puede argumentar que estas soluciones son, no físico, pero la simetría argumento no será suficiente en el caso de la cuantificación general de la curva heterogéneas colector. En este caso no tendremos una "física" de argumento para descartar algunas de las no equivalentes representaciones.

Los fenómenos de no equivalentes cuantizaciones puede estar presente incluso en el caso de un número finito de grados de libertad en la que no es plano fase espacios.

Habiendo dicho todo eso, quiero, no obstante, para proporcionar una respuesta directa a su pregunta (aunque no será único, debido a las razones mencionadas anteriormente). Como entiendo la pregunta, se puede afirmar que existe un algoritmo para pasar de la partícula espacio de Hilbert el espacio de Fock. Este algoritmo se puede resumir de la Fock factorización:

$$ \mathcal{F} = e^{\otimes \mathcal{h}}$$

Donde $\mathcal{h}$ es la única partícula espacio de Hilbert y $\mathcal{F}$ es el espacio de Fock. Como se dijo antes cuantización canónica nos proporciona sólo con la canónica commutaion relaciones:

$$[a_{\mathbf{k}}, a^{\dagger}_{\mathbf{l}}] = \delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{l}) \mathbf{1}$$

En esta etapa tenemos sólo un ($C^{*}$)el álgebra de los operadores. A la inversa pregunta acerca de la existencia de un algoritmo a partir de la canónica de relaciones de conmutación y terminando con el espacio de Fock (o, equivalentemente, la respuesta a la pregunta de donde es el espacio de Hilbert?) es proporcionado por el Gelfand -Naimark-Segal construcción (GNS), que proporciona representaciones de $C^{*}$ álgebras en términos de operadores acotados en un espacio de Hilbert.

El GNS de que comience la construcción de un estado $\omega$ que es positivo lineal funcional en el álgebra $ \mathcal{A}$ (en nuestro caso el álgebra es la culminación de todos los posibles productos de cualquier número de creación y aniquilación de los operadores).

El segundo paso es la elección de todo el álgebra como un primer espacio lineal $ \mathcal{A}$. En general, no será nulo elementos de satisfacciones:

$$\omega (A^{\dagger}{A}) = 0$$

El espacio de Hilbert es obtenido mediante la identificación de elementos diferentes por un vector nulo:

$$ \mathcal{H} = \mathcal{A} / \mathcal{N} $$

($\mathcal{N} $ es el espacio de vectores nulos).

El producto interior en este espacio de Hilbert es dada por:

$$(A, B) = \omega (A^{\dagger}{B}) $$

Se puede demostrar que el GNS construcción es cíclica representación en el espacio de Hilbert es dado por la acción de los operadores de forma cíclica "vacío de vectores". El GNS construcción da todo no equivalentes representaciones de un determinado $C^{*}$ álgebra (delimitada por los operadores). En el caso de un libre escalar campo de la elección de una Gaussiana estado definido por su función característica:

$$ \omega_{\mathcal{F} }(e^{\int\frac{d^3k}{E_k} z_{\mathbf{k}}a^{\dagger}_{\mathbf{k}} + \bar{z}_{\mathbf{k}}a^{\mathbf{k}} }) = e^{\int\frac{d^3k}{E_k} \bar{z}_{\mathbf{k}} z_{\mathbf{k}}}$$

Donde $z_{\mathbf{k}}$ son indeterminates que pueden ser diferenciados por para obtener el resultado de cualquier producto de los operadores.

El nulo vectores de esta construcción será sólo combinaciones de fuga debido a la canónica de relaciones de conmutación (como $a_1 a_2 - a_2 a_1$). Por lo tanto, esta elección ha Bose estadísticas. También subespacios distribuidos por un producto de un número dado de la creación de los operadores será el número de subespacios.

El estado de esta construcción se denota por: $\omega_{\mathcal{F}}$, ya que produce el habitual espacio de Fock. Estado diferente opciones puede resultar no equivalentes cuantizaciones.

Answer 2

Para mí, la equivalencia parece obvia. Voy a tratar de explicar mi tren de pensamiento.

En ambos enfoques de empezar con el grupo de Poincaré.

Ahora en el primer enfoque que empezar por la construcción de un espacio de Fock de los estados con el único requisito adicional de la causalidad. El resultado es que su espacio es creado por el espacio-tiempo-dependiente de los operadores (ya que de lo contrario, la causalidad no podía ser forzada), es decir, el operador de valores de campos. Estos campos obedecer canónica (Fock-espacio de creación) covariante (requisito) relaciones de conmutación.

En el segundo enfoque se empieza por la construcción de los campos de la poincaré representaciones y, a continuación, quantize con el requisito adicional de la causalidad. De nuevo, imponer canónica (Fock-espacio de creación) covariante (requisito) relaciones de conmutación en sus campos.

La diferencia está en la perspectiva. Mientras que en el primer enfoque, que considere su partícula estados como más fundamental, la búsqueda de un operador que va a crear su espacio físico, la segunda apprach ve los campos como el objeto de la importancia, la creación de la multi-partícula de los estados "en el camino".

Answer 3

Aquí me gustaría darle un intento de respuesta a esta pregunta fundamental, a través del siguiente ejemplo:

Considere la posibilidad de un cristal conteniendo $m$ de la localización de los átomos alrededor de la rejilla de los sitios, y cada átomo en el sitio $i$ tiene una clásica de los campos de $(x_i,p_i)$(posición y momentum), después de la cuantización canónica(primera cuantización), el clásico de los campos de $(x_i,p_i)$ es promovido a los operadores de $(\hat{x}_i,\hat{p}_i)$ con relaciones de conmutación $[\hat{x}_i,\hat{p}_j]=i\hbar \delta_{ij}$. Además, introducir la escalera operadores de $a_i=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}(\hat{x}_i+i\hat{p}_i)$ y la satisfacción de $[a_i,a_j^\dagger]=\delta_{ij}$. Ahora es el instructivo para el uso simultáneo de autoestados $ \mid n_1,\cdots,n_m >_c$ de la operaors $\hat{n}_1,\cdots ,\hat{n}_1$(donde $\hat{n}_i=a_i^\dagger a_i$) como la base del cristal de espacio de Hilbert $V_c$ donde $\hat{n}_i \mid n_1,\cdots,n_m >_c=n_i \mid n_1,\cdots,n_m >_c,i=1,2,\cdots,m$.

Por otro lado, considerar la segunda cuantización del bosón de partículas y deje $b_i,b_i^\dagger$ ser la aniquilación y creación de los operadores, el índice de $i$ representa el $i$ th solo bosón de estado y de $i$ pistas de$1$$m$. La partícula número de operadores dfined como $\hat{n}_i=b_i^\dagger b_i$, y la ocupación de la base de que el bosón de espacio de Hilbert $V_b$ $ \mid n_1,\cdots,n_m >_b$ donde $\hat{n}_i \mid n_1,\cdots,n_m >_b=n_i \mid n_1,\cdots,n_m >_b,i=1,2,\cdots,m$.

Por último, vamos a definir un mapa entre el cristal de espacio de Hilbert $V_c$ y el bosón de espacio de Hilbert $V_b$ hacer $ \mid n_1,\cdots,n_m >_c= \mid n_1,\cdots,n_m >_b$, lo que hace una equivalencia entre los átomos y solo bosón de los estados. Y creo que esta es sólo la equivalencia entre canónica de la cuantificación de los clásicos campos de$(x_i,p_i)$, y la segunda cuantización de la bosón de partículas $b_i,b_i^\dagger$ como usted menciona.

Answer 4

Por lo que entiendo, usted simplemente no puede lidiar con cualquier no-perturbativa de la física si intenta segunda cuantización de las partículas individuales de los estados, ya que estos son a priori perturbativa de excitaciones en todo el estado de vacío. Se olvida, por ejemplo, instantons, topológico efectos... Trate de hacer QCD esta manera y ver hasta qué punto se consigue.

Answer 5

Usted debe pensar en la importancia fundamental del oscilador armónico, en el ámbito de la relativista de los campos.

Limitarnos aquí, por simplicidad, a un real escalares sin masa bosonic libre relativista del campo $\Phi(x,t)$, la ecuación es :

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta) \Phi(x,t)=0$

Por la transformada de Fourier en coordenadas espaciales, tienes :

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} + k^2) \tilde \Phi(k,t)=0$

donde $\Phi(k,t)$ es la espacial de la transformada de Fourier de \Phi(x,t). Podríamos haber usado la notación $\tilde \Phi_k(t)$,$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} + k^2) \tilde \Phi_k(t)=0$.

Esta muestra, que, cuando pensamos en un relativista del campo, es, de hecho (al menos para bosonic campos), una colección de independiente osciladores armónicos $\tilde \Phi_k(t)$. El $2$ definiciones son totalmente equivalentes, y nadie es mejor que el otro.

Ahora , la cuantización del campo $\Phi(x,t)$, es la misma cosa, como cuantización de la colección de armónica oscilators $\tilde \Phi_k(t)$. No hay cuantización es mejor que el otro. Sabemos cómo hacerlo, escribiendo:

$\tilde \Phi_k(t) \sim a_k e^{-i|k| t} + a_k^+ e^{+i|k| t}$

con $[a_k, a_k^+]=1$ (aquí, hemos hecho un ingenuo correspondencia, ignorando que $k$ es un continuo indice)

La armónica oscilators ser independiente, y $k$ siendo un continuo indice,esto, naturalmente, se extiende a las relaciones conocidas $[a_k, a_k'^+]=\delta(k-k')$