Probar divide a $7$ $13^n- 6^n$ para cualquier entero positivo

Question

Necesito probar $7|13^n-6^n$ $n$ ser cualquier entero positivo.

Utilizando inducción tengo lo siguiente:

Caso base:

$n=0$: $13^0-6^0 = 1-1 = 0, 7|0$

por lo tanto, generalmente se puede decir:

$7|13^k-6^k , n = k \ge 1$

por lo tanto, demostrar la situación de $(k+1)$:

$13^{(k+1)}-6^{(k+1)}$

$13 \cdot 13^k-6 \cdot 6^k$

¿Y entonces estoy atrapado... Dónde ir desde aquí?

Answer 1

Nota

$$ 13\times 13 ^ k -6 \times 6 ^ k = 7\times 13 ^ k +6(13^k-6^k) $$

Answer 2

Sugerencia: $$13\equiv 6\bmod 7$ $ subir ambos lados a la potencia de $n$.

Answer 3

Escriba $13=6+7$ $1313^k-66^k$ de ampliar.

Answer 4

En primer lugar, mostrar que esto es cierto para $n=1$:

$13^{1}-6^{1}=7$

En segundo lugar, asumir que esto es cierto para $n$:

$13^{n}-6^{n}=7k$

En tercer lugar, demostrar que esto es cierto para $n+1$:

$13^{n+1}-6^{n+1}=$

$13\cdot13^{n}-6\cdot6^{n}=$

$(7+6)\cdot13^{n}-6\cdot6^{n}=$

$7\cdot13^{n}+6\cdot13^{n}-6\cdot6^{n}=$

$7\cdot13^{n}+6\cdot(\color{red}{13^{n}-6^{n}})=$

$7\cdot13^{n}+6\cdot\color{red}{7k}=$

$7\cdot13^{n}+7\cdot6k=$

$7\cdot(13^{n}+6k)$

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Tenga en cuenta que el supuesto sólo se utiliza en la parte marcada en rojo.

Answer 5

Escribir $13^n-6^n=(14-1)^n-(7-1)^n$. Expandir usando el teorema del binomio; el $1$'s cancelar y te dejan solo con los múltiplos de $7$.