Demostrar que el sistema de ecuaciones implica la afirmación

Question

Cómo demostrarlo

$$ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 & = 0 \\ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 & = p \\ x_1x_2x_3 & = -q \\ x_1 & = 1/x_2 + 1/x_3 \end{cases} $$

implica

$$ q^3 + pq + q = 0\,\,? $$

Answer 1

Denotemos las ecuaciones por $(1),\ldots ,(4)$ . Entonces $(4)$ dice $x_1x_2x_3=x_2+x_3$ y $(3)$ dice $x_1x_2x_3=-q$ . Esto da $x_3=-x_2-q$ . Sustitúyalo por $(1)$ . Esto da $x_1=q$ . Entonces $q\cdot (2)-(3)$ da $-q(p+q^2+1)=0$ o $$q^3+pq+q=0.$$

Answer 2

Según las tres primeras ecuaciones, $x_1, x_2, x_3$ son soluciones de $$x^3 +px + q = 0$$

La cuarta ecuación puede traducirse en $x_1x_2x_3 = x_3 + x_2$ es decir $-q = -x_1$ entonces $x_1 = q$ ,

Concluya señalando que $q$ resuelve $x^3 +px + q = 0$