Ecuación de Gross-Pitaevskii en condensados de Bose-Einstein

Question

Esperaba que alguien pudiera dar una explicación abordable del Ecuación de Gross-Pitaevskii . Todas las fuentes que he podido encontrar parecen concentrarse en la derivación, y no tengo la formación física necesaria para seguirla. Sin embargo, lo que entiendo es que la ecuación de GP modela el estado básico de una colección de bosones (todos en el mismo estado de mínima energía) utilizando "algún enfoque de teoría de campo medio". Mis principales preguntas son

1. ¿Cuáles son algunos de los supuestos que conducen a la ecuación del GP?

2. He leído que la GP es "una ecuación de Schrodinger no lineal". Reconozco la forma de la ecuación de Schrodinger en la GP, pero ¿el término extra de magnitud de psi al cuadrado forma parte del potencial o es algo completamente diferente? Intuitivamente, ¿de dónde viene y qué significa?

3) ¿Cuáles son algunos potenciales interesantes y/o físicamente relevantes para la ecuación GP? Supongo que es una pregunta vaga, pero ¿a qué tipo de potenciales se ven sometidos frecuentemente los condensados de Bose Einstein? Por ejemplo, en la mecánica cuántica estudiamos la partícula en una caja y los modelos de osciladores armónicos, ¿son estos interesantes/relevantes también en los condensados de BE?

Answer 1

1) Algunos de los supuestos de la ecuación de Gross-Pitaevskii (GPE) son:

1. todos los átomos están en la misma función de onda condensada,
2. el condensado está en $T=0$ ,
3. Las colisiones entre átomos son lo suficientemente bajas en energía como para que las interacciones puedan ser bien descritas por la $s$ -de dispersión de ondas, por lo que la interacción puede escribirse $g\delta(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j)$ .

Los GPEs generalizados también pueden ser resueltos, permitiendo el agotamiento térmico y cuántico (algunos átomos no en el condensado) y permitiendo otras formas de interacción, como la dipolar.

2) El término de interacción, $g|\Psi(\mathbf{x})|^2$ se suma al potencial externo $V_\mathrm{ext}(\mathbf{x})$ El potencial efectivo es la suma de ambos: $V_\mathrm{ext}(\mathbf{x})+g|\Psi(\mathbf{x})|^2$ . La densidad del condensado es $n_0(\mathbf{x})=|\Psi(\mathbf{x})|^2$ por lo que el término de interacción es $gn_0(\mathbf{x})$ que es el potencial debido a la interacción con el propio condensado.

Más detalles en respuesta al comentario del OP:

El potencial de interacción entre dos átomos puede escribirse normalmente como $V(\mathbf{r}_{ij})$ donde $\mathbf{r}_{ij} =\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j$ . Para los átomos neutros sin un momento dipolar magnético significativo, la interacción dominante es la de Van der Waals, por lo que $V(\mathbf{r}_{ij})\propto r_{ij}^{-6}$ .

Al considerar la dispersión entre dos átomos, podemos hacer una expansión de onda parcial (haciendo coincidir las funciones de onda entrantes y salientes y expandiendo en términos de polinomios de Legendre, por ejemplo, "Quantum Mechanics", Ch. 17, Landau y Lifshitz). Para las partículas lentas con interacción de Van der Waals, la $s$ -es dominante y la interacción puede simplificarse a $V(\mathbf{r}_{ij}) = g \delta(\mathbf{r}_{ij})$ donde $g=4\pi\hbar^2 a_s/m$ y $a_s$ es el $s$ -Longitud de dispersión de las ondas. Para tener una idea de la longitud de dispersión, en el $s$ -aproximación de onda, la sección transversal es $\sigma=4\pi a_s^2$ Así que $a_s$ es una escala de longitud para la interacción.

El potencial de interacción en el GPE se puede escribir $$\int d\mathbf{x'} V(\mathbf{x}'-\mathbf{x})|\Psi(\mathbf{x'})|^2$$ Cuando $V(\mathbf{x}'-\mathbf{x})=g\delta(\mathbf{x}'-\mathbf{x})$ esto se simplifica a $$\int d\mathbf{x'} g\delta(\mathbf{x}'-\mathbf{x})|\Psi(\mathbf{x'})|^2 = g|\Psi(\mathbf{x})|^2$$

3) El potencial externo $V_\mathrm{ext}(\mathbf{x})$ se debe generalmente a campos ópticos o magnéticos aplicados, y suele ser aproximadamente un oscilador armónico. La fuerza del oscilador puede ser muy fuerte en algunas direcciones, creando un confinamiento casi unidimensional o bidimensional. Una partícula en una caja todavía no es posible (los átomos interactuarían con las "paredes"), pero el potencial externo puede ser localmente aproximadamente uniforme cerca del centro de la trampa. También son comunes los potenciales de celosía, en los que (además del confinamiento armónico) los átomos están atrapados en una onda estacionaria creada por láseres contrapropagados que dan lugar a un potencial periódico. Son posibles muchas otras formas, como los toroides.

Una buena referencia es el libro "Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases" de Pethick y Smith. Este libro, ligeramente fechado revisar también es bueno (versión arXiv gratuita aquí ): la sección III es relevante para su pregunta 2.