Que sea $A \subset \mathbb{N}$ compuesta por todos los enteros positivos que no tienen $0$ en su expresión decimal (así $A={1,2,3,\dots 9,11,12, \dots 19,21... }$).
Mostrar la convergencia o divergencia de $\sum_{n\in A} \frac{1}{n}$
Respuesta
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Alex Franko
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Definir $S_n = [10^{n - 1}, 10^n) \cap A$$n \in \mathbb{N}_+$. Debido a que para cada $(a_n \cdots a_1 a_0)_{10} \in S_{n + 1}$,$(a_n \cdots a_1)_{10} \in S_n$, y para cada $(a_{n - 1} \cdots a_0)_{10} \in S_n$, hay $(a_{n - 1} \cdots a_0 j)_{10} \in S_{n + 1}$ $(1 \leqslant j \leqslant 9)$, entonces$$ \sum_{k \S_{n + 1}} \frac{1}{k} = \sum_{l \en S_n} \sum_{j = 1}^9 \frac{1}{10 l + j} < \sum_{l \en S_n} \sum_{j = 1}^9 \frac{1}{10 l} = \frac{9}{10} \sum_{l \en S_n} \frac{1}{l}. $$ Por inducción,$$ \sum_{k \in S_n} \frac{1}{k} \leqslant \left( \frac{9}{10} \right)^{n - 1} \sum_{k \in S_1} \frac{1}{k} = \left( \frac{9}{10} \right)^{n - 1} \sum_{k = 1}^9 \frac{1}{k}. \quad n \in \mathbb{N}_+ $$ Por lo tanto,$$ \sum_{m \en Una} \frac{1}{m} = \sum_{n = 1}^\infty \sum_{k \in S_n} \frac{1}{k} \leqslant \sum_{n = 1}^\infty \left( \frac{9}{10} \right)^{n - 1} \sum_{k = 1}^9 \frac{1}{k} = 10 \sum_{k = 1}^9 \frac{1}{k} < +\infty. $$
