Deformaciones de Codimensión 2 ACM subschemes

Question

Tengo una pregunta acerca de un teorema y ejemplo en Hartshorne la "Deformación de la Teoría de la" p. 65. El teorema dice:

Teorema 8.9 Deje $Y_0$ ser un ACM cerrado subscheme de codimension 2 de $X_0=\mathbb{P}^n_k$, y asumir la $\dim Y_0\ge1$. Utilizando la notación de (6.1) [nota: esto significa que tenemos una secuencia exacta $$0\to J\to C'\to C\to0$$ where $C$ and $C'$ are local Artin rings with residue field $k$ and $J$ is an ideal with $\mathfrak{m}_{C'}J=0$], suppose we are given a closed subscheme $Y$ of $X=\mathbb{P}^n_C$, flat over $C$ and with $Y\times_Ck=Y_0$. Entonces:

(a) Hay un $r\times(r+1)$ matriz $\varphi$ homogéneo de elementos de $R=C[x_0,\ldots,x_n]$ cuyas $r\times r$ menores $f_i$ generar el ideal $I$$Y$, y dar una resolución de $$0\to\bigoplus R(-b_i)\xrightarrow{\varphi}\bigoplus R(-a_i)\xrightarrow{f}R\to R/I\to0.$$

(b) Para cualquier elevación $\varphi'$$\varphi$$R'=C'[x_0,\ldots,x_n]$, teniendo en $f'$ $r\times r$ de los menores de edad se da una secuencia exacta $$0\to\bigoplus R'(-b_i)\xrightarrow{\varphi'}\bigoplus R'(-a_i)\xrightarrow{f'}R'\to R'/I'\to0$$ and defines a closed subscheme $Y'$ of $X'=\mathbb{P}^n_{C'}$, flat over $C'$, with $S'\times_{C}C=Y$.

(c) Cualquier elevación $Y'$$Y$$X'$, plana por $C'$$Y'\times_{C'}C=Y$, surge por la elevación $\varphi$, como en (b).

Este teorema es seguido por:

Ejemplo 8.9.1 Las conclusiones de (8.9) son falsas en el caso de un esquema de $Y_0$ de dimensión 0 en $\mathbb{P}^n$. Por ejemplo, supongamos $Y_0$ ser un conjunto de tres puntos colineales en $\mathbb{P}^2$. Entonces hay una forma lineal en el ideal de la $Y_0$. Pero como se deforman los puntos en la dirección de un conjunto de tres puntos no colineales de $\mathbb{P}^2$, de la forma lineal no levanta. Así las deformaciones de $Y_0$ no pueden ser obtenidos por la elevación de los elementos de la matriz correspondiente a $\varphi$.

Creo entender por qué esto es un contraejemplo en la dimensión 0. Ahora supongamos que reemplazar esta $Y_0$ con el cono sobre $Y_0$$\mathbb{P}^3$. Ahora tiene dimensión 1, y es todavía ACM de codimension 2, por lo que (8.9) se aplica. Sin embargo parece que el argumento (8.9.1) todavía funciona. En lugar de tres puntos colineales, tenemos tres coplanares líneas coincidentes, de modo que existe una forma lineal en el ideal de las líneas. Sin embargo, si nos deforma en la dirección de tres líneas coplanares, aún coincidiendo en el cono punto (acaba de tomar el cono sobre la deformación de (8.9.1)), de la forma lineal no levanta. Pero esto sería un contraejemplo al teorema. Lo que está mal con este argumento?

Answer 1

Me di cuenta de la equivocación. El punto es que el no puede deformar las tres líneas coplanarias en la dirección de tres líneas coplanares, porque esto no es un plano de la familia. De hecho, parte del Ejercicio III.9.5 en Hartshorne la "Geometría Algebraica", es mostrar que el cono sobre un plano de la familia no es necesariamente plana.

En este caso, podemos encontrar un apartamento de la familia $X$ de subschemes de $\mathbb{P}^2_k$ sobre la base de la $\mathbb{A}^1_k$ de manera tal que la fibra a $0$ se compone de tres puntos colineales y todos los demás de la fibra consiste de tres puntos no colineales. Si dejamos $X'$ ser la restricción de $X$$\mathbb{A}^1\setminus\{0\}$, entonces el cono $C(X')$ todavía será plana, debido a que todas las fibras tienen el mismo polinomio de Hilbert. Pero el plano límite de $C(X')$ $0$ tiene un punto incrustado en el cono punto, que no es el mismo que el cono $C(X_0)$. Por lo tanto $C(X)$ no es un plano de la familia.

Para un ejemplo concreto, el de considerar a la familia de ideales de a $I_t=(z(x-y),z(tx-z),y(tx-z))$. Para $t\neq0$, este es el saturado ideal de la (no colineales) puntos $(1:0:0)$, $(0:1:0)$, y $(1:1:t)$. El límite de esta familia es $I_0=(z(x,y,z),xy(x-y))$, cuya fuga locus consta de los tres puntos colineales $(1:0:0)$, $(0:1:0)$, y $(1:1:t)$. Pero $I_0$ no está saturado (se puede ver esto incluso sin el cálculo de $I_0$, ya que se satura el ideal de tres puntos colineales debe contener una forma lineal, mientras que los ideales $I_t$ son generados por quadrics). Esto no es un problema en $\mathbb{P}^2_k$ donde el ideal $(x,y,z)$ es irrelevante, pero cuando pasamos a la de cono, la asociada de primer orden $(x,y,z)$ se convierte en un punto incrustado.