Estoy tratando de calcular el siguiente principio el valor de la integral \begin{equation} P\int_0^\infty \frac{x^{\lambda-1}}{1-x} dx \end{equation} para $\lambda \in [0,1].$ traté de convertir esto en un contorno integral para que nuestros complejos de la función está dada por $$ f(z)=\frac{z^{\lambda-1}}{1-z} $$ que tiene un simple poste de $z=1$ y los puntos de ramificación en$z=0$$z=\infty$. Integramos a lo largo de un contorno con dos sangría rutas así, podemos recoger la mitad de los residuos en estos dos contornos), por lo tanto, podemos escribir el contorno C como $$ C=\sum_{i=1}^6 C_i + C_{\epsilon}+C_{R}=C_1+C_2+C_3+C_4+C_5+C_6+C_{\epsilon}+C_R. $$ Desde el contorno encierra ningún polos y $f(z)$ es holomorphic, por la de Cauchy-Goursat teorema sabemos que $$ \oint_C f(z) dz=0. $$ Puedo mostrar que las integrales de los contornos $C_R$ $C_\epsilon$ desaparecer ya $$ \bigg|\int_{C_R}\bigg| \leq \bigg| \int_{0}^{2\pi} d\theta \frac{R^{\lambda-1} R}{R} \bigg|=\bigg| \frac{2\pi}{R^{1-\lambda}}\bigg| \0 \ \text{como} \ R\to\infty \ \text{para} \ \lambda < 1 $$ y $$ \bigg|\int_{C_\epsilon}\bigg| \leq \bigg| \int_{0}^{2\pi} d\theta \epsilon^{\lambda-1}\cdot \epsilon = \big|2\pi\epsilon^\lambda\big| \0 \ \text{como} \ \epsilon \0 \ \text{para} \ \lambda > 0. $$ Ahora, escriba la integral de contorno como $$ 0=\oint_C f(z)dz=P\int_{C_1} + \ P\int_{C_2} +\ P\int_{C_3}+\ P\int_{C_4}+\ P\int_{C_5}+\ P\int_{C_6}. $$ Explícitamente ahora podemos calcular tres contorno de las integrales sobre $C_1, C_2, C_3$ mediante el uso de $z=xe^{2\pi i}$, $dz=dxe^{i2\pi}=dx$ y obtenemos \begin{equation} P\int_{C_1}+\ P\int_{C_2}+\ P\int_{C_3}=\lim_{R\to\infty} \lim_{\epsilon \to 0}\int_{Re^{i(2\pi-\epsilon)}}^{(1+\epsilon)2\pi i} \frac{z^{\lambda-1}}{1-z}dz-\frac{1}{2}2\pi i\cdot Res_{z=e^{2\pi i} }[f(z)] +e^{2\pi i(\lambda-1)} \int_{1}^{0} \frac{x^{\lambda-1}}{1-x}dx. \end{equation} Nota la primera integral en términos de $z$ sólo puede ser escrita como $$ \lim_{R\to\infty} \lim_{\epsilon \to 0}\int_{Re^{i(2\pi\epsilon)}}^{(1+\epsilon)2\pi i} \frac{z^{\lambda-1}}{1-z}dz=\int_{\infty}^{1} \frac{x^{\lambda-1}}{1-x}dx $$ sin embargo, estoy atascado en cuanto a cómo ir de aquí. Gracias
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Voy a evaluar el caso más general $$\text{PV} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\lambda-1}}{x^{b}-1} \ dx \ \ (b >\lambda > 0, \ b\ge 1) .$$
Deje $ \displaystyle f(z) = \frac{z^{\lambda-1}}{z^{b}-1}$, donde la rama de corte a lo largo del eje real positivo.
Ahora se integran alrededor de una cuña de radio de $R$ que hace un ángulo de $ \displaystyle \frac{2 \pi }{b}$ con el real positiva del eje y se pretende alrededor de la simple pol $z=1$$z=e^{2 \pi i /b}$, y el punto de rama en $z=0$.
La integral obviamente se desvanece a lo largo del arco de la cuña,$R \to \infty$.
Y no hay ninguna contribución de la sangría alrededor del punto de ramificación en $z=0$ desde $$\Big| \int_{0}^{\frac{2 \pi}{b}} f(re^{it}) ire^{it} \ dt \Big| \le \frac{2 \pi}{b} \frac{r^{\lambda}}{1-r^{b}} \to 0 \ \text{as} \ r \to 0.$$
Luego va alrededor del contorno en sentido antihorario, $$ \text{PV} \int_{0}^{\infty} f(x) \ dx - \pi i \ \text{Res} [f, \pi i] + \ \text{PV}\int_{\infty}^{0} f(te^{\frac{2 \pi i }{b}}) e^{\frac{2 \pi i}{b}} \ dt - \pi i \ \text{Res}[f,e^{\frac{2 \pi i}{b}}] = 0 .$$
Buscando en cada parte por separado,
$$ \text{Res}[f,1] = \lim_{z \to 1} \frac{z^{\lambda-1}}{bz^{b-1}} = \frac{1}{b}$$
$ $
$$\text{PV} \int_{\infty}^{0} f(te^{\frac{2 \pi i }{b}}) e^{\frac{2 \pi i}{b}} \ dt = - e^{\frac{2 \pi i}{b}} \text{PV} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{\lambda-1} e^{\frac{2 \pi i(\lambda-1)}{b}}}{t^{b} e^{2 \pi i} - 1} \ dt = - e^{\frac{2 \pi i \lambda}{b}} \text{PV} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{\lambda-1}}{t^{b}-1} \ dt $$
$ $
$$ \text{Res}[f, e^{\frac{2 \pi i}{b}}] = \lim_{z \to e^{\frac{2 \pi i}{b}}} \frac{z^{\lambda-1}}{bz^{b-1}} = \frac{e^{\frac{2 \pi i (\lambda-1)}{b}}}{b e^{\frac{2 \pi i(b-1)}{b}}} = \frac{1}{b} e^{\frac{2 \pi i \lambda }{b}} $$
Volver a conectar y reorganización,
$$\text{PV} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\lambda-1}}{x^{b}-1} \ dx = \frac{\pi i}{b} \frac{1 + e^{\frac{2 \pi i \lambda}{b}}}{1-e^{\frac{2 \pi i \lambda}{b}}} = - \frac{\pi}{b} \cot \left(\frac{\pi \lambda}{b} \right) $$
o
$$ \text{PV} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\lambda-1}}{1-x^{b}} \ dx = \frac{\pi}{b} \cot \left(\frac{\pi \lambda}{b} \right) $$
Deje que el contorno de $\gamma$ ser
$\hspace{3.6cm}$
Desde $\gamma$ no contiene singularidades de $\dfrac{z^{\lambda-1}}{1-z}$, obtenemos $$ \int_\gamma\frac{z^{\lambda-1}}{1-z}\,\mathrm{d}z=0\etiqueta{1} $$ La integral a lo largo del gran círculo, se desvanece como el radio de $\to\infty$ desde el integrando $\sim-z^{\lambda-2}$.
La integral a lo largo de la pequeña superior semi-círculo, como el radio de $\to0$, es $$ -\pi i\times\operatorname*{Res}\limits_{z=1}\dfrac1{1-z}=\pi i\etiqueta{2} $$ La integral a lo largo de la pequeña inferior semi-círculo, como el radio de $\to0$, es $$ -\pi i\times\operatorname*{Res}\limits_{z=1}\dfrac{e^{2\pi i(\lambda-1)}}{1-z}=\pi ie^{2\pi i(\lambda-1)}\etiqueta{3} $$ La integral a lo largo de la parte superior de los segmentos de línea se $$ \mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{x^{\lambda-1}}{1-x}\,\mathrm{d}x\etiqueta{4} $$ La integral a lo largo de la parte inferior de los segmentos de línea se $$ -e^{2\pi i(\lambda-1)}\mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{x^{\lambda-1}}{1-x}\,\mathrm{d}x\etiqueta{5} $$ Sumando $(2)-(4)$ y la aplicación de $(1)$ rendimientos $$ \begin{align} \mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{x^{\lambda-1}}{1-x}\,\mathrm{d}x &=-\pi i\frac{1+e^{2\pi i(\lambda-1)}}{1-e^{2\pi i(\lambda-1)}}\\ &=\pi i\frac{e^{\pi i(\lambda-1)}+e^{-\pi i(\lambda-1)}}{e^{\pi i(\lambda-1)}-e^{-\pi i(\lambda-1)}}\\[9pt] &=\pi\cot(\pi(\lambda-1))\\[15pt] &=\pi\cot(\pi\lambda)\tag{6} \end{align} $$
$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\pp\int_{0}^{\infty}{x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x:\ {\large ?}\,,\qquad \lambda \en \pars{0,1}}$.
\begin{align} &\color{#c00000}{\pp\int_{0}^{\infty}{x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x}= \lim_{\epsilon \to 0^{+}}\pars{% \int_{0}^{1 - \epsilon}{x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x \int_{1 + \epsilon}^{\infty}{x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x} \\[3mm]&= \lim_{\epsilon \to 0^{+}}\bracks{% \int_{0}^{1 - \epsilon}{x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x +\int_{1/\pars{1 + \epsilon}}^{0}{\pars{1/x}^{\lambda - 1} \over 1 - 1/x}\,\pars{-\,{\dd x \over x^{2}}}} \\[3mm]&=\lim_{\epsilon \to 0^{+}}\bracks{% \int_{0}^{1 - \epsilon}{x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x -\int^{1/\pars{1 + \epsilon}}_{0}{x^{-\lambda} \over 1 - x}\,\dd x} \\[3mm]&=\lim_{\epsilon \to 0^{+}}\bracks{% \int_{0}^{1 - \epsilon}{x^{\lambda - 1} - x^{-\lambda} \over 1 - x}\,\dd x -\int^{1/\pars{1 + \epsilon}}_{1 - \epsilon}{\dd x \over x^{\lambda}\pars{1 - x}}} \\[3mm]&=\lim_{\epsilon \to 0^{+}}\bracks{% \int_{0}^{1 - \epsilon}{1 - x^{-\lambda} \over 1 - x}\,\dd x -\int_{0}^{1 - \epsilon}{1 - x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x -\int^{1/\pars{1 + \epsilon}}_{1 - \epsilon}{\dd x \over x^{\lambda}\pars{1 - x}}} \end{align}
Sin embargo, $\ds{\lim_{\epsilon \to 0^{+}}\int^{1/\pars{1 + \epsilon}}_{1 - \epsilon}{\dd x \over x^{\lambda}\pars{1 - x}} = 0}$ porque \begin{align} &\verts{% \int^{1/\pars{1 + \epsilon}}_{1 - \epsilon}{\dd x \over x^{\lambda}\pars{1 - x}}} \leq \int^{1/\pars{1 + \epsilon}}_{1 - \epsilon}{\dd x \over \pars{1 - \epsilon}^{\lambda}\bracks{1 - 1/\pars{1 + \epsilon}}} \\[3mm]&={1 + \epsilon \over \pars{1 - \epsilon}^{\lambda}} \bracks{{1 \over 1 + \epsilon} - \pars{1 - \epsilon}} ={\epsilon^{2} \over \pars{1 - \epsilon}^{\lambda}} \end{align}
y, del mismo modo, $\ds{\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int^{1}_{1 - \epsilon}{x^{\lambda - 1} x^{-\lambda} \over 1 - x}\,\dd x = 0}$ tal que \begin{align} &\color{#c00000}{\pp\int_{0}^{\infty}{x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x} = \int_{0}^{1}{1 - x^{-\lambda} \over 1 - x}\,\dd x -\int_{0}^{1}{1 - x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x =\Psi\pars{-\lambda + 1} - \Psi\pars{\lambda} \end{align} donde $\ds{\Psi\pars{z}}$ es la Función Digamma ${\bf\mbox{6.3.1}}$ y se utilizó el identidad ${\bf\mbox{6.3.22}}$.
Con Euler Reflexión Fórmula ${\bf\mbox{6.3.7}}$ $\pars{~\Psi\pars{1 - z} = \Psi\pars{z} + \pi\cot\pars{\pi z}~}$ vamos a conseguir: $$ \color{#00f}{\large\pp\int_{0}^{\infty}{x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x} =\color{#00f}{\large\pi\cuna\pars{\pi\lambda}}\,,\qquad\qquad \lambda \en \pars{0,1} $$
$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ Además de mi respuesta anterior, hay otra manera $\ds{\pars{~\mbox{in a "physicist fashion"}~}}$ para evaluar la integral :
$\ds{\large\mbox{With}\quad {\tt\lambda \in \pars{0,1}}}$: \begin{align} &\color{#c00000}{\pp\int_{0}^{\infty}{x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x} =-\Re\int_{0}^{\infty}{x^{\lambda - 1} \over x - 1 + \ic 0^{+}}\,\dd x \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\pars{1} \\[3mm]&=-\Re\left\lbrack -\ \overbrace{\left.\lim_{R \to \infty}\int_{0}^{2\pi}{z^{\lambda - 1} \over z - 1} \,\dd z\,\right\vert_{z\ \equiv\ R\expo{\ic\theta}}}^{\ds{=\ 0}}\ -\ \int_{\infty}^{0} {x^{\lambda - 1}\pars{\expo{2\pi\ic}}^{\lambda - 1} \over x - 1 - \ic 0^{+}}\,\dd x \right. \\[3mm]&\left.\phantom{-\Re\left\lbrack\right.\,\,\,}\mbox{}-\ \overbrace{\left.\lim_{\epsilon \to 0^{+}}\int^{0}_{2\pi} {z^{\lambda - 1} \over z - 1}\,\dd z\, \right\vert_{z\ \equiv\ \epsilon\expo{\ic\theta}}}^{\ds{=\ 0}}\right\rbrack \\[3mm]&=-\Re\pars{\expo{2\pi\lambda\ic}\int^{\infty}_{0} {x^{\lambda - 1} \over x - 1 - \ic 0^{+}}\,\dd x} =-\Re\pars{\expo{2\pi\lambda\ic}\,\pp\int^{\infty}_{0} {x^{\lambda - 1} \over x - 1}\,\dd x + \ic\pi\expo{2\pi\lambda\ic}} \\[3mm]&=\cos\pars{2\pi\lambda}\,\color{#c00000}{\pp\int^{\infty}_{0} {x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x} + \pi\sin\pars{2\pi\lambda} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\pars{2} \end{align}
Con $\pars{1}$$\pars{2}$, obtenemos: \begin{align} &\color{#c00000}{\pp\int^{\infty}_{0}{x^{\lambda - 1} \over x - 1}\,\dd x} =\pi\,{\sin\pars{2\pi\lambda} \over 1 - \cos\pars{2\pi\lambda}} =\pi\,{2\sin\pars{\pi\lambda}\cos\pars{\pi\lambda} \over 2\sin^{2}\pars{\pi\lambda}} =\pi\,{\cos\pars{\pi\lambda} \over \sin\pars{\pi\lambda}} \end{align}
$$ \color{#00f}{\large\pp\int_{0}^{\infty}{x^{\lambda - 1} \over 1 - x}\,\dd x} =\color{#00f}{\large\pi\cuna\pars{\pi\lambda}}\,,\qquad\qquad \lambda \en \pars{0,1} $$
