¿Ejemplo de un principio contable no-$T_1$ compacto espacio topológico que no es secuencialmente compacto?

Question

Se sabe que la primera contables, compacto $T_1$ espacio topológico es secuencialmente compacto.

Ahora, la forma que yo sé de la prueba, se pasa a través del punto límite compacity para, dada una secuencia, construir una apropiada larga con el hecho de que el espacio es $T_1$ y de primera contables.

En este post, se muestra un ejemplo de una primera contables, punto límite compacto, no$T_1$ topológica de un espacio que no es secuencialmente compacto. Pero el espacio utilizado como ejemplo no es compacto.

Por lo tanto, me pregunto: ¿qué es un ejemplo de una primera contables, compacto no$T_1$ topológica de un espacio que no es secuencialmente compacto? (o ¿de verdad no necesitan obligatoriamente $T_1$?)

Answer 1

Supongamos que $X$ es un primer contables topológicos compactos espacio. Considere la posibilidad de una secuencia infinita $x_1,x_2,\dots,x_n,\dots$ de los puntos en $X.$

La reclamación. Hay un punto de $x\in X$ tal que, para cada vecindario $U$ $x,$ tenemos $x_n\in U$ para infinidad de $n.$

Prueba de reclamación. Asumir lo contrario. Cada punto de $x$ está cubierto por un conjunto abierto $U$ tal que $x_n\notin U$ para todos lo suficientemente grande $n.$ Por la compacidad, el espacio de $X$ está cubierto por un número finito de estos conjuntos. De ello se desprende que $x_n\notin X$ para suficientemente grande $n,$ lo cual es absurdo.

Elija un punto de $x$ como se afirmó anteriormente. Deje $V_1\supseteq V_2\supseteq\cdots\supseteq V_n\supseteq\cdots$ ser un contable de la disminución de barrio base para $x.$ Elija $n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots$ $x_{n_k}\in V_k.$ El subsequence $x_{n_1},x_{n_2},\dots$ converge a $x.$