Haz normal en haz tangente

Question

Consideremos el haz normal $NM$ de sección cero en $TM$ . ¿Es cierto que $NM \cong TM$ ?

Hay una secuencia exacta $$0 \rightarrow TM \rightarrow TE|_M \rightarrow NM \rightarrow 0$$ para el haz normal, pero si $E=TM$ ...no es exacto.

Answer 1

En realidad, es cierto un resultado mucho más general: dada una variedad $M$ y un haz vectorial arbitrario $E\stackrel {\pi}{\to} M$ en $M$ el haz de vectores normales $N_E(M)$ de $M$ (identificado con la sección cero de $E$ ) en $E$ es isomorfo a $E$ .
En otras palabras, tenemos una descomposición de la suma directa de los haces vectoriales en $M$ :

$$T(E)|M =T(M)\oplus E $$

La clave para entender esto es considerar el caso en que $M$ se reduce a un punto: es entonces el resultado que dice que el espacio tangente en el origen $T_0E$ de un espacio vectorial $E$ puede identificarse con el espacio vectorial $E$ sí mismo.
En efecto, si los vectores tangentes se definen (digamos) como derivaciones, entonces el vector $v\in E$ se identifica con la derivación $\partial _v|_0$ que envía la función $f$ a su derivada direccional $$\partial _vf(0)=\lim_{t\to 0} \frac {f(tv)-f(0)}{t}$$ Editar
Puede ser interesante observar que asociado a cualquier haz de vectores $E\stackrel {\pi}{\to} M$ tenemos una secuencia exacta canónica de haces en $\textbf E$ : $$0\to\pi^*(E)\to T(E)\to \pi^*(T(M))\to 0 $$ El haz de vectores $\pi^*(E)=:T_{vert}(E)$ es el haz de subvectores de $T(E)$ que consiste en vectores tangentes a las fibras de $\pi$ .
Restringiendo esta secuencia exacta a la sección cero del haz identificado con $M$ obtenemos la secuencia exacta canónica de haces en $\textbf M$ : $$0\to E\to T(E)\vert M\to T(M)\to 0$$ Esta secuencia exacta puede no canónicamente y obtenemos la ya mencionada descomposición $T(E)|M =T(M)\oplus E$ .

Answer 2

El argumento del recuento de dimensiones que di es erróneo. Si $Z:M\hookrightarrow TM$ entonces $NM = Z^*(TTM)/TM$ tiene efectivamente la dimensión adecuada. La intuición es errónea porque las direcciones en $TM$ "perpendicular" a $M$ son exactamente las direcciones tangentes.