¿Esta ecuación define una función diferenciable?

Question

Estoy resolviendo pasado cálculo de exámenes, y me encontré con la siguiente pregunta.

¿La ecuación: $$ F(x,y,z) = 2\sin(x^2yz) - 3x + 5y^2 - 2e^{yz} = 0 $$ definir una función derivable $z = f(x,y)$ en un barrio de $p = (1, 1, 0)$?

Al principio, pensé que esto era un candidato natural para el teorema de la función implícita, pero: $$ \a la izquierda.\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial z}F \end{de la matriz}\right|_{(1,1,0)} = \begin{matrix} 2x^2y\cos(x^2yz) -2ye^{yz} \end{de la matriz}_{(1,1,0)} = 0 $$ por lo tanto, el teorema no se cumpla en este caso.

Ideas? Gracias!

Answer 1

Después Fleming, funciones de varias variables, página 150, si $F(x,y,z(x,y))=0$, entonces el $F_1+F_3 z_1=0$. Pero en nuestro caso $F_3=0$ y $F_1=-3$ $(1,1,0)$. Por lo tanto no diferenciable función $z=z(x,y)$ puede existe tal que $F(x,y,z(x,y))=0$ idénticamente en un barrio de $(1,1,0)$.