¿Puede la norma de un entero no algebraico ser un número entero?

Question

Sea L/K una extensión de campo finito y definamos la norma de un elemento como el producto de cada incrustación de K evaluada en ese elemento.

¿Puede la norma de un entero no algebraico ser un número entero?

Sé que la norma de un número entero algebraico es siempre un número entero, ya que corresponde al último término del polinomio mínimo, pero me preguntaba si existe una norma inversa, incluso en condiciones especiales.

EDIT: Perdón sí un elemento que pertenece a L.

Answer 1

La norma de $$ \frac35+\frac45i\in\Bbb Q[i] $$ es $$ \left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2=1 $$ Más generalmente, cualquier triple pitagórico primitivo $(a,b,c)$ puede utilizarse para construir elementos en $\Bbb Q(i)$ de norma 1 que no son enteros, basta con tomar $z=\frac ac+\frac bci$

Incluso, de forma más general, si $K$ es un campo cuadrático y $0\neq z\in K$ cualquiera, el cociente $z/\bar z$ tiene siempre la norma 1.

Answer 2

$\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$ Creo que podría tomar una raíz $\alpha$ de $f = 2x^2 + x + 2$ .

Claramente $f$ es irreducible en $\Q[x]$ Así que $\alpha$ no es un entero algebraico ya que su polinomio mínimo mónico $f/2$ en $\Q$ no tiene coeficientes enteros.

Pero la norma de $\alpha$ en $\Q(\alpha)/\Q$ es el coeficiente constante de $f/2$ Es decir, $1$ .

Answer 3

Sugerencia $ $ En $\,\Bbb Q,\,$ un número cuadrático es un entero algebraico si su $\,\color{#0a0}{\rm norm}\,$ y $\,\rm\color{#c00}{trace}$ son enteros, es decir, si su polinomio mínimo mónico tiene coeficientes enteros. Así que su pregunta se reduce a encontrar un polinomio irreducible $\,x^2\! + \color{#c00}b\,x + \color{#0a0}c\in\Bbb Q[x] $ con $\,\color{#c00}{b\not\in \Bbb Z},\ \color{#0a0}{c\in \Bbb Z},\,$ que es bastante fácil.

Nota: $\ $ El mismo argumento funciona sobre cualquier dominio integralmente cerrado $\,D,\,$ ya que entonces los polinomios mínimos mónicos de $D$ -Los elementos integrales deben tener coeficientes en $\,D\,$ (una propiedad que equivale a $\,D\,$ siendo integralmente cerrado).