En busca de una matriz real $2\times2$ $A$ $Ax$ una contracción para la norma del supremum y no una contracción para la una norma

Question

Estoy buscando una matriz real de $2\times2$$A$, que $ x\longmapsto Ax $ es una contracción considerando $|\cdot|_\infty$ y un noncontraction considerando el $|\cdot|_1$.

Tengo ahora idea cómo solucionar el problema. Gracias.

Answer 1

Si entiendo tu pregunta correctamente, usted puede tomar por ejemplo $$ A = \frac14\,\begin{bmatrix} 3&4\ 3&4\end{bmatrix}. $$ Entonces $ \ | Ax\ | _\infty = \frac {3x_1 +4x2} 4\leq\frac {3\ | x\ | \infty +4\ | x\ | \infty} 4 = |x|\infty. $$ $A$ Es una contracción $|\cdot|_\infty$.

Y $ \ | Ax\ | _1 = 2\left | +4\right \frac {3x_1 4x_2} | = \left|\frac {3x_1 +4x_2} 2\right. $$ Así que si $x=\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}$, tenemos $|x|_1=1$ y $|Ax|_1=2$.